本文的是基于我对邓俊辉老师编著《数据结构（C++语言版）（第3版）》上关于KMP算法的理解，和网络上一些大神们写的博客，所写。建议将我写的关于implement strstr这题的博客和本篇连起来读。

不难发现，这里存在大量的局部匹配，针对暴力解法，若每次匹配的过程都是最后一位失配（即不匹配），文本串和模式串都得回退，并从头开始下一轮的尝试，这样浪费很多时间。

1）我们可以利用以往的成功对比所提供的信息，不仅可避免文本串字符指针的回退，而且可使模式串尽可能大跨度的地右移。我们举一个例子来得出KMP的思考过程；

本轮发现：T[i]=‘E’ ！=‘O’=P[4]失配以后，在保持i不变的同时，应将模式串P右移几个单位？观察得出T[i-1,i) = P[0,4) = ‘REGR‘。也就是说，若比较到了T[i]说明，不管T[i]是否匹配，至少T[i]左侧的若干字符均应匹配，P[0]和T[i-1]就是这种情况。若注意到 i-1是能够如此匹配的最左侧，即可直接将P右移4-1=3个单位（等效于i保持不安，同时令 j=1），然后继续对比。

2）如图，若上例中，对比终止于T[i] ！=P[j]，按以上构想，指针 i 不必回退，而将T[i]与P[t] 对齐开始下一轮对比，那么关键是：t准确应取做多少？

在上一轮的对比中可知，P[0,j) =T[i-j,i) ，若模式串P经过适当的右移移，以后，能过与T的某一（包含T[i]在内的）子串完全匹配，则必定满足的一项必要条件是：P[0,t)=T[i-t,j)=p[j-t,j)，亦即，在P[0,j)中长度为t的真前缀应与长度为t的真后缀完全匹配，故t必来自集合：

N(P,j) ={ 0<=t<j | P[0, t) = P[j-t, j) }                      .......(1)

一般，该集合中，可能包含多个这样的t ，但值得注意的是：t 值的构成，仅取决于模式串P以及前一轮对比的首个失配位置P[j] ，而与文本串T无关。若下一轮从 T[i] 与 P[t] 对比开始，等效于将P右移了 j-t 个单元，与 t 成反比。为保证指针 i 绝不退后，同时又不遗失可能的匹配，应保证，选取最大的 t 值，保证，移动的距离最短。这里很关键的是如何选取 t 值，即next[ ]的构造。

3）只要 j >0，即失配时，模式串P的下标大于0，则必有0属于集合N(P ,j)，也就是说，针对表达式（1）中的集合非空，最坏的情况是 t=0，即模式串又重新的从开始和文本串T[i]开始对比，相当于向右移动 j 个单位。下表的意思是，当失配的位置rank的值等于0~9时，模式串下轮对比从P的那个位置开始。如：rank=3时失配，因为，只有当 t =0 时，才满足表达式（1），即P[0,3)中真前缀没有和真后缀匹配的情况，则下轮比较还是要从模式串的首元素开始比较，所以next[3] =0，即向右移动3个单位；当rank=6时，P[0,2) =P[4,6) ，所以下一轮的对比中，应该是 P[2]和T[i]，做对比，而对模式串P而言相当于向右移了6-2=4个单位。如果某一轮的对比中，首字符就失配，此时应该进行时，用模式串的首字符和文本串T的下一字符做比较，为统一程序和达到依旧用首字符和文本串中的下一位做比较的目的，可以令next[0]=-1，这样，i 和 j都++以后，依旧是符合要求的。故在主程序中，i++和 j++的条件是 if(0>j || T[i]==P[j]) 。

 3.1）经过3）我们得到了next[j] ，但是如何计算出next[j+1]了？

若next[j] = t ，则意味着在P[0,j)中，自匹配的真前缀和真后缀的最大长度为t ，故必有 next[j+1] <=next[j]+1 ，当且仅当P[j] = P[t]时，取等号。等号怎么理解了？如图：

针对模式串P中的 j 点，满足P[0,t)=P[j-t,j)，则当P[t] =P[j] 时，对模式串P的 j+1 点而言，应该是P[0,t+1) =P[j-t, j+1) ，而P[0,t+1)等于next[j]+1。至于为什么事最大值，这点比较好想，这里接不解释了。

那么一般的情况，若P[j] !=P[t]时，又该如何的得到next[j+1] ？这点可以想到，若是从next[j+1]开始比较，说明，P中j点而言都是满足P[0,t ) =P[j-t)，同时也肯定存在P[t]=P[j]。由next表的功能定义可知，next[j+1]从next[next[j]+1 ]+1，next[ next [next[j] ] ]+1..........中按照优先次序遍历寻找P[j] =P[t] ，即，反复用next[t] 替代 t(令 t=next[t] ) ，从而可令next[j+1] = next[t]+1 。具体的程序过程参考文章开始说的博客。

KMP算法详解