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线段树（二）

2024-10-12 12:39:02   219人阅读

转自：http://blog.csdn.net/liujian20150808/article/details/51137749

 

1.线段树的定义：

线段树是一种二叉搜索树，与区间树相似，它将一个区间划分成一些单元区间，每个单元区间对应线段树中的一个叶结点。

对于线段树中的每一个非叶子节点[a,b]，它的左儿子表示的区间为[a,(a+b)/2]，右儿子表示的区间为[(a+b)/2+1,b]。因此线段树是平衡二叉树，最后的子节点数目为N，即整个线段区间的长度。

 

举例描述：

因此有了以上对线段树的定义，我们可以将区间[1,10]的线段树结构描述出来：

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图片来自于百度百科

有了线段[1,10]的线段树结构，我们可以发现，每个叶节点对应区间范围内的端点[a,a](1<=a<=10)

 

2.构造线段树

显然，当我们将线段树定义清楚之后，那么我们就要想要怎么去实现它。

我们可以观察上图，对于线段树中的每一个非叶子节点[a,b]，它的左儿子表示的区间均为[a,(a+b)/2]，右儿子表示的区间均为[(a+b)/2+1,b]，

因此我们利用线段树的这一特点，可以递归的将这棵线段树构造出来，递归的终止条件也就是我们构造到了叶节点，即此时线段的左右区间相等。

有了以上的思路，我们可以得出以下构造线段树的代码：

 

[cpp] view plain copy
  1. //由区间[left,right]建立一棵线段树  
  2.   
  3. Node *Build(Node *_root,int left,int right){  
  4.     _root = Init(_root,left,right);    //节点初始化  
  5.     if(left != right){            //递归终止条件,表示已经线段树建立到了叶节点  
  6.         _root -> lchild = Build(_root -> lchild,left,(left + right) / 2);  
  7.         _root -> rchild = Build(_root -> rchild,(left + right)/2+1,right);  
  8.     }  
  9.     return _root;        //回溯至最后一层时,则返回整棵树的根节点  
  10. }  


为了检验构造情况是否和上述图示一致，我们可以利用树的中序遍历，查看每个节点存储的线段，因此我们得出以下完整代码：

 

 

[cpp] view plain copy
  1. #include<cstdio>  
  2. #include<cstdlib>  
  3.   
  4. typedef struct node Node;  
  5.   
  6. struct node{  
  7.     int leftvalue;  
  8.     int rightvalue;      //分别用来记录节点记录的区间范围  
  9.     Node *lchild;     //左孩子节点  
  10.     Node *rchild;    //右孩子节点  
  11. };  
  12.   
  13. int flag = 1;      //用于标记当前遍历到哪个节点  
  14. //节点的初始化  
  15. Node *Init(Node *_node,int lvalue,int rvalue){  
  16.     _node = (Node *)malloc(sizeof(Node));  
  17.     _node -> lchild = NULL;  
  18.     _node -> rchild = NULL;  
  19.     _node -> leftvalue = lvalue;  
  20.     _node -> rightvalue = rvalue;  
  21.     return _node;  
  22. }  
  23.   
  24. //由区间[left,right]建立一棵线段树  
  25.   
  26. Node *Build(Node *_root,int left,int right){  
  27.     _root = Init(_root,left,right);    //节点初始化  
  28.     if(left != right){            //递归终止条件,表示已经线段树建立到了叶节点  
  29.         _root -> lchild = Build(_root -> lchild,left,(left + right) / 2);  
  30.         _root -> rchild = Build(_root -> rchild,(left + right)/2+1,right);  
  31.     }  
  32.     return _root;        //回溯至最后一层时,则返回整棵树的根节点  
  33. }  
  34.   
  35. //中序遍历,便于从左往右查看各节点存储的线段区间  
  36.   
  37. void inorder(Node *_node){  
  38.     if(_node){  
  39.         inorder(_node -> lchild);  
  40.         printf("第%d个遍历的节点,存储区间为:[%d,%d]\n",flag++,_node -> leftvalue,_node -> rightvalue);  
  41.         inorder(_node -> rchild);  
  42.     }  
  43. }  
  44.   
  45. int main(){  
  46.     Node *root;  
  47.     root = Build(root,1,10);  
  48.     inorder(root);  
  49.     return 0;  
  50. }  

 

 

运行结果：
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我们发现，存储的结果与一开始定义的完全一致，于是我们便成功的建立好了一棵空的线段树。

 

3.线段树的一些简单应用：

 

(1).区间查询问题：

我们以RMQ为例，即在给定区间内查询最小值，假设我们已经将对应区间的最小值存入了线段树的节点中，那么我们利用刚刚建立好的线段树来解决这一问题。

如果查询的区间是[1,2],[3,3]这样的区间，那么我们直接找到对应节点解决这一问题即可。但是如果查询的区间是[1,6],[2,7]这样的区间时，我们可以发现在线段树中，无法找到这样的节点，

但是呢，我们可以找到树中哪几个节点能够组成我们所要求的区间，然后再取这几个区间内的最小值不就解决问题了吗？

因此有了这样的想法，我们对于任何在合理范围内的查询，都可以找到若干个相连的区间，然后将这若干个区间合并，得到待求的区间。

通常，我们用来寻找这样的一个区间的简单办法是：

function 在节点v查询区间[l,r]

if v所表示的区间和[l,r]交集不为空集 if v所表示的区间完全属于[l,r]

选取v 

else

在节点v的左右儿子分别查询区间[l,r]end if end if

end function

伪代码出自《线段树》讲稿 杨戈

因此根据以上伪代码我们可以得出以下完整代码：

 

[cpp] view plain copy
 
  1. #include<cstdio>  
  2. #include<cstdlib>  
  3.   
  4. typedef struct node Node;  
  5.   
  6. struct node{  
  7.     int leftvalue;  
  8.     int rightvalue;      //分别用来记录节点记录的区间范围  
  9.     Node *lchild;     //左孩子节点  
  10.     Node *rchild;    //右孩子节点  
  11. };  
  12.   
  13. int flag = 1;      //用于标记当前遍历到哪个节点  
  14. //节点的初始化  
  15. Node *Init(Node *_node,int lvalue,int rvalue){  
  16.     _node = (Node *)malloc(sizeof(Node));  
  17.     _node -> lchild = NULL;  
  18.     _node -> rchild = NULL;  
  19.     _node -> leftvalue = lvalue;  
  20.     _node -> rightvalue = rvalue;  
  21.     return _node;  
  22. }  
  23.   
  24. //由区间[left,right]建立一棵线段树  
  25.   
  26. Node *Build(Node *_root,int left,int right){  
  27.     _root = Init(_root,left,right);    //节点初始化  
  28.     if(left != right){            //递归终止条件,表示已经线段树建立到了叶节点  
  29.         _root -> lchild = Build(_root -> lchild,left,(left + right) / 2);  
  30.         _root -> rchild = Build(_root -> rchild,(left + right)/2+1,right);  
  31.     }  
  32.     return _root;        //回溯至最后一层时,则返回整棵树的根节点  
  33. }  
  34.   
  35. //中序遍历,便于从左往右查看各节点存储的线段区间  
  36.   
  37. void inorder(Node *_node){  
  38.     if(_node){  
  39.         inorder(_node -> lchild);  
  40.         printf("第%d个遍历的节点,存储区间为:[%d,%d]\n",flag++,_node -> leftvalue,_node -> rightvalue);  
  41.         inorder(_node -> rchild);  
  42.     }  
  43. }  
  44.   
  45. /**用于查询一个给定的区间是由线段树中哪几个子区间构成的,为了简化代码, 
  46.  **因此保证输入的区间范围合法,这里就不作输入的合法性判断了 
  47.  */  
  48. void Query(Node *_node,int left,int right){  
  49.     /**要查询一个给定的区间是由线段树中哪几个子区间构成的 
  50.      **首先要满足的是当前遍历到的区间要和待查询区间有交集, 
  51.      **否则的话不再继续往当前节点的孩子节点继续遍历,原因很简单 
  52.      **每个孩子节点存储的区间范围都是包含于父亲节点的,父亲节点与 
  53.      **待查询区间无交集的话,则孩子节点一定无交集 
  54.      **/  
  55.      if(right >= _node -> leftvalue && left <= _node -> rightvalue){  
  56.         /**如果当前遍历到的线段树区间完全属于待查询区间, 
  57.          **那么选取该区间,否则的话,继续缩小范围, 
  58.          **在当前节点的左孩子和右孩子节点继续寻找 
  59.          **/  
  60.         if(left <= _node -> leftvalue && right >= _node -> rightvalue){  
  61.             printf("[%d,%d]\n",_node -> leftvalue,_node -> rightvalue);  
  62.         }  
  63.         else{  
  64.             Query(_node -> lchild,left,right);  
  65.             Query(_node -> rchild,left,right);  
  66.         }  
  67.      }  
  68.   
  69. }  
  70.   
  71. int main(){  
  72.     Node *root;  
  73.     root = Build(root,1,10);  
  74.     inorder(root);  
  75.     printf("区间[2,7]由线段树中以下区间构成:\n");  
  76.     Query(root,2,7);  
  77.     return 0;  
  78. }  


我们以区间[2,7]为例，得出以下运行结果：

 

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（2）.区间修改操作：

在这里我们依然以RMQ问题为例，假如一开始的时候，线段树中每个节点的权值都是1，那么现在我要做的是，指定一个合法

的区间，然后对这个区间内所有的数加上或者减去某个数，如果我们按照区间的内的数一一的去遍历并修改线段树的节点的话，那

么改动的节点数必然远远超过O(logn)个，而且会存在大量的重复遍历操作，那么要怎么样才能提高程序的效率呢？

首先，我们考虑给定的修改区间，按照前面我们讨论过的问题，我们可以把待操作区间变成几个相连的子区间，那么我们试

想，当我们要修改一个给定区间时，我们对其所有子区间进行修改，这样的话不就把整个待修改区间处理完毕了吗？这样的话

我们是否可以只通过修改几个子区间节点的值，而不考虑它们的孩子节点，就完成所有的操作了呢？

实际上，如果不考虑这些子区间的孩子节点的话，是错误的，因为在父亲节点所带的权值发生变化时，比如说上图示中区间

[1,2]中每个值都加上5，那么我们把线段树中表示区间[1,2]的节点修改完毕是否就可以了呢？答案显然是错误的，因为该节点的左孩

子([1,1])和右孩子节点所表示的区间([2,2])中的值也都发生了变化。

所以在这里我们为了方便，我们在节点定义中加入一个标记的量，用来存储对节点的修改情况。显然，当我们自上而下的访

问某节点时，父亲节点的标记要"传给"孩子节点，即修改大的区间，其子区间也必然被改动。

有了以上的分析，我们可以总结操作：

首先找到树中哪几个节点表示的区间，能够组成我们待修改的区间，然后从这些节点开始向下遍历，将以这些节点为根节点

的子树节点权值做相应的改变。（边查找对应子区间，边修改权值）

完整代码如下：

 

[cpp] view plain copy
 
  1. #include<cstdio>  
  2. #include<cstdlib>  
  3.   
  4. typedef struct node Node;  
  5.   
  6. struct node{  
  7.     int leftvalue;  
  8.     int rightvalue;      //分别用来记录节点记录的区间范围  
  9.     Node *lchild;     //左孩子节点  
  10.     Node *rchild;    //右孩子节点  
  11.     int weight;      //表示节点的权值  
  12.     int mark;        //表示当前节点改变的值(权重加减处理)  
  13. };  
  14.   
  15. int flag = 1;      //用于标记当前遍历到哪个节点  
  16. //节点的初始化  
  17. Node *Init(Node *_node,int lvalue,int rvalue){  
  18.     _node = (Node *)malloc(sizeof(Node));  
  19.     _node -> lchild = NULL;  
  20.     _node -> rchild = NULL;  
  21.     _node -> leftvalue = lvalue;  
  22.     _node -> rightvalue = rvalue;  
  23.     _node -> weight = 1;          //为了方便,一开始的时候,线段树每个节点的权值都设为1  
  24.     _node -> mark = 0;            //初始状态时,所有节点的权重均为1,因此一开始的时候,线段树每个节点的标记均为0  
  25.     return _node;  
  26. }  
  27.   
  28. //由区间[left,right]建立一棵线段树  
  29.   
  30. Node *Build(Node *_root,int left,int right){  
  31.     _root = Init(_root,left,right);    //节点初始化  
  32.     if(left != right){            //递归终止条件,表示已经线段树建立到了叶节点  
  33.         _root -> lchild = Build(_root -> lchild,left,(left + right) / 2);  
  34.         _root -> rchild = Build(_root -> rchild,(left + right)/2+1,right);  
  35.     }  
  36.     return _root;        //回溯至最后一层时,则返回整棵树的根节点  
  37. }  
  38.   
  39. //中序遍历,便于从左往右查看各节点存储的线段区间  
  40.   
  41. void inorder(Node *_node){  
  42.     if(_node){  
  43.         inorder(_node -> lchild);  
  44.         printf("\n第%d个遍历的节点,存储区间为:[%d,%d]\n",flag,_node -> leftvalue,_node -> rightvalue);  
  45.         printf("\n第%d个遍历的节点,权值为%d,标记为%d\n",flag++,_node -> weight,_node -> mark);  
  46.         inorder(_node -> rchild);  
  47.     }  
  48. }  
  49.   
  50. /**用于查询一个给定的区间是由线段树中哪几个子区间构成的,为了简化代码, 
  51.  **因此保证输入的区间范围合法,这里就不作输入的合法性判断了 
  52.  */  
  53. void Query(Node *_node,int left,int right){  
  54.     /**要查询一个给定的区间是由线段树中哪几个子区间构成的 
  55.      **首先要满足的是当前遍历到的区间要和待查询区间有交集, 
  56.      **否则的话不再继续往当前节点的孩子节点继续遍历,原因很简单 
  57.      **每个孩子节点存储的区间范围都是包含于父亲节点的,父亲节点与 
  58.      **待查询区间无交集的话,则孩子节点一定无交集 
  59.      **/  
  60.      if(right >= _node -> leftvalue && left <= _node -> rightvalue){  
  61.         /**如果当前遍历到的线段树区间完全属于待查询区间, 
  62.          **那么选取该区间,否则的话,继续缩小范围, 
  63.          **在当前节点的左孩子和右孩子节点继续寻找 
  64.          **/  
  65.         if(left <= _node -> leftvalue && right >= _node -> rightvalue){  
  66.             printf("[%d,%d]\n",_node -> leftvalue,_node -> rightvalue);  
  67.         }  
  68.         else{  
  69.             Query(_node -> lchild,left,right);  
  70.             Query(_node -> rchild,left,right);  
  71.         }  
  72.      }  
  73.   
  74. }  
  75.   
  76. /**对指定区间的值进行增添操作,显然,当某个子区间的值进行修改了之后 
  77.  **以该节点为根节点的子树区间的值均要修改 
  78.  **/  
  79.   
  80. void change(Node *node){  
  81.     if(node){  
  82.         if(node -> lchild){  
  83.             node -> lchild -> mark += node -> mark;  
  84.             node -> lchild -> weight += node -> lchild -> mark;  
  85.             change(node -> lchild);  
  86.         }  
  87.         if(node -> rchild){  
  88.             node -> rchild -> mark += node -> mark;  
  89.             node -> rchild -> weight += node -> rchild -> mark;  
  90.             change(node -> rchild);  
  91.         }  
  92.     }  
  93. }  
  94.   
  95. /**更改某个区间的权值,整棵线段树节点值的变化为了简化代码, 
  96.  **因此保证输入的区间范围合法,这里就不作输入的合法性判断，pos表示增减操作的值 
  97.  **/  
  98. void update(Node *node,int left,int right,int pos){  
  99.   
  100.     //先查找待处理区间的组成区间,再修改区间的权值  
  101.     if(right >= node -> leftvalue && left <= node -> rightvalue){  
  102.         if(left <= node -> leftvalue && right >= node -> rightvalue){  
  103.             node -> mark = pos;  
  104.             node -> weight += node -> mark;  
  105.             //修改以该节点为根的子树所有节点的权值和标记  
  106.             change(node);  
  107.         }  
  108.         else{  
  109.             update(node -> lchild,left,right,pos);  
  110.             update(node -> rchild,left,right,pos);  
  111.         }  
  112.      }  
  113. }  
  114.   
  115.   
  116.   
  117. int main(){  
  118.     Node *root;  
  119.     root = Build(root,1,4);  
  120.     //[1,3]中每个数都加上5;  
  121.     update(root,1,3,5);  
  122.     inorder(root);  
  123.     return 0;  
  124. }  


 

运行结果：

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线段树初学，有错误和不足之处还望指正，O(∩_∩)O谢谢，后续在深入学习的过程中，还会增加更多的关于线段树的文章，

或者对本文中的应用范围再进行扩充。

 

 

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