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数据结构及其变化
集合
散列表
定义：
散列表：通过将元素映射到该表中的某一位置，来提高访问速度
装填因子：元素的个数/表的长度
碰撞： 多个关键字映射到同一位置的现象
碰撞检测方案：直接寻址法和链接法
简单一致散列：每个元素散列时是独立的，与其他元素无关
一致散列：假设每个关键字的探察序列`<0,1,2,…,m-1>的m!中排列的每一种可能性是相同的
关键字集合静态：关键字集合存入表中后不再变化
散列函数的设计
即映射函数 。
好的映射函数应该满足简单一致散列
通常利用关键字分布的限制性信息来设计，称为启发式
乘法散列
hk = ka
除法散列
hk = k mod a
全域散列及设计
作用在大小为m的表上的一组映射函数H，其能够保证任意两个元素，最多只有|H|/m个映射函数会发生碰撞。
这个设计的平均性能比较好
设计：
选则一个大质数p p> max(e)
ha,b(k)=((ak+b)mod p)mod m
Hp,m={ha,b:a∈Zp* ,b∈Zp}
Hp,m中共有p(p-1)个散列函数
设计证明：
即证明选择不同的值发生碰撞的概率不大于1/m
1 对于任意两个元素k,l(k!=l) r=(ak+b)mod p s=(al+b)mod p 可证明r!=s
2 可用r s 来表示a,b a=((r-s)((k-l)-1 mod p)) mod p, b=(r-ak)mod p 重要的是可以证明<r,s>对和<a,b>对一一对应。
3 可证明 给定r,p的选择数目为p-1个， 碰撞概率 r== s mod m 的数目最多为 (p-1)/m,所以碰撞概率最多为1/m
完全散列
定义：在静态集合上最坏查找是O(1)的散列技术
设计：
1 最外围函数为h(k)=((ak+b)mod p)mod m (是全域散列)
2 散列表S的大小为mj 相关的散列函数为hj(k)=((ajk+bj)mod p)mod mj
3 mj为落在该pos下的元素个数的平方
证明 n个关键字存储在m=n2的散列表中发生碰撞的概率小于1/2
E(x)=Cn2 * 1n2 = n2n2*1n2 < 1/2
证明 总体期望空间为O(n) E[ ∑m1j=0nj^2] =E[ ∑m1j=0 (nj + 2Cnj2)]=n + 2E[∑m1j=0Cnj2]=n+2Cnj2 * 1m = n+2Cnj2 * 1n=n+2n12< 2n
开放地址法
所有的元素都放在表中。依据探查序列算法解决发生碰撞时下一个探查的位置
该结构在删除元素时，不能将对应的位置设置为空，而是设置一个deleted的标记
线性探查 h(k,i)=(h(k)+ci)mod m
二次探查 h(k,i)=(h(k)+c1i+c2i2)mod m
双重散列 h(k,i)=(h(k)+h2(k)i)mod m
线
栈
后进先出的数据结构
队列
先进先出的数据结构
树
二叉树
完全二叉树:只有最下面的两层结点度能够小于2，并且最下面一层的结点都集中在该层最左边的若干位置的二叉树
满二叉树:除最后一层无任何子节点外，每一层上的所有结点都有两个子结点二叉树
平衡二叉树:其左右高度相差不超过1，并且都是平衡二叉树，
各基本操作的运行时间都是O(h) h为树的高度
avl树=二叉搜索树+平衡
红黑书
根节点和叶子节点是黑色的，两者之间黑色节点的个数是相同的。另外一种树是红树，其子节点都是黑树 此为红黑树
最坏情况下操作时间为O(lgn)
每个节点 (color,key,left,right和p)
左旋
长子的次子是自己的长子
自己是长子的次子
右旋
次子的长子是自己的次子
自己是次子的长子
增
根据二叉树找到挂靠的父节点，直接插入，颜色为红
增调：（红黑颠倒简称倒）
伯红 => 伯父爷倒 我=我爷 命名为(上窜)
伯黑 => （我是长子 => 我=父 左旋）父爷倒 爷右旋
删
确定实际要删的节点y（当前节点(双子不全)或者其继任）所以y一定不是双子
确定y的替代节点x（唯一的孩子或空 ）
x向上取代y
若y黑，则删调
删调：比较麻烦，后续再提炼
B树
定义 B树是平衡(t+)叉树 t>=2 是最小度数
曾
B-TREE-SPLIT-CHILD ：当前节点中间关键字放到上面，左右分拆为两个
B-TREE-INSERT-CHILD：
1 当跟节点为2t-1时，拆
2 插入元素到指定node位置，如果node满了，拆；（如果父节点满了，拆）
删
1 删掉指定元素k 如果该元素位于内节点中。如果其有合适的前继或后继e，则删掉e;否则删掉k,合并左右子节点，
2 若合并 则进行合并后调整: 检查该节点元素个数，如果不满足，则从左右兄弟拉元素或者合并
二叉堆
父元素大于（或小于）子元素的满二叉树
二项堆
可合并堆
支持create、insert、min、pop、union五种操作（建增查删合）的数据结构
二项树
一种递归定义的有序树。二项树B0只包含一个节点。二项树Bk 由两棵Bk-1连接而成，其中一颗树是另一棵树的左孩子。
最小堆有序:结点的关键字大于或等于其父节点的关键字。
二项堆
最坏情况下时间复杂度为lgn
是具有最小堆有序性质的二项树的一个集合，其中不存在根度数重复的元素
容易证明m个元素 二项树的个数为<=lg2m+1
斐波那契堆
除删除外其余操作时间为O(1)
由一组最小堆有序树构成，但不一定是二项树
树根之间是无序的，树根之间和各个树内部都是双链。
图
先序、中序、后序
最小生成树
无向加权连通图
<G,E>,选择一组E1 ,E1 ∈E,能连接所有顶点，求min(E1)
kruskal算法（OElgE）
优先收集全图最小边（除非该边的两个顶点都在已知的顶点中）
Prim算法（OElgV）
收集已知顶点外围的最小边
单源最短路径
最短路径估计：对每个顶点
v∈V,都设置一个属性d[v],用来描述从源点到v的最短路径的上界。
松弛技术：
1 初始化每个顶点v与原点u间的最短路径估计为无穷
2 针对
bellman-ford算法（OEV）
用每个顶点松弛每条边 ,可以处理边为负数的情况
dijkstra算法（Ov2）
1 顶点集合S，将S边上最短路径的顶点u加入S
2 使用u松弛u周围的边
不可以处理边为负数的情况
多源最短路径
定义：计算每对顶点间的最短路径
闭包：任何顶点之间都存在路径的有向图
floyd-warshall算法(OV3)
用任意顶点k松弛任意两个顶点
<u,v>间的边
johnson算法
依次执行Dijkstra算法
最大流
流守恒：进入某顶点的速度等于离开该顶点的速度
问题描述：在不违背容量限制的条件下，把物质从源点传输到汇点的最大速率是多少？
ford-fulkerson方法依赖三种重要思想:残留网络，增广路径、割。
残留流量
Cf(u,v)=c(u,v)-f(u,v)
残留网络
给定一流网络G=(V,E)和流f，由f压得的G的残留网络是Gf=(V,Ef)
增广路径
增广路径为残留网络中的一条从源点到汇点的简单路径
流网络的割
将网络切成两部分的一种割法
最小割 就是最小容量的割
最大流最小割 最小割就是最大流
基本的ford-fulkerson算法
1 全置0
2 依次寻找一个增广路径p,计算其最小容量c
3 依次对该路径上的每段子路径的流加上c，每段子路径的容量减去c
所以算法的关键是如何寻找到一个增广路径（寻增算法）
edmonds-karp算法
使用广度优先算法找增广路径
压入与重标记算法
定义 依次检查残留网络的每个顶点的相邻顶点
两种基本操作：1 把流的余量从一个顶点压向另一个顶点 2重标记
压入：把当前节点的余流沿着边压向邻点
重标记：当前边为最低邻点的高度+1
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数据结构及其变化