首页 > 代码库 > 随机数生成算法【详解，归纳】
随机数生成算法【详解，归纳】
1、蒙特卡洛方法
蒙特卡罗方法又称统计模拟法、随机抽样技术，是一种随机模拟方法，以概率和统计理论方法为基础的一种计算方法，是使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。将所求解的问题同一定的概率模型相联系，用电子计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解。为象征性地表明这一方法的概率统计特征，数学家冯·诺依曼用闻名世界的赌城——蒙特卡罗命名（就是那个冯·诺依曼）。
蒙特卡罗方法解题过程的主要步骤：
a.针对实际问题建立一个简单且便于实现的概率统计模型，使所求的量恰好是该模型的概率分布或数字特征。
b.对模型的随机变量建立抽样方法，在计算机上进行模拟测试，抽取足够多的随机数。
c.对模拟实验结果进行统计分析，给出所求解的“估计”。
d.必要时，改进模型以提高估计精度和减少实验费用，提高模拟效率。
2、冯·诺依曼
冯·诺依曼（John von Neumann，1903~1957），20世纪最重要的数学家之一，在现代计算机、博弈论和核武器等诸多领域内有杰出建树的最伟大的科学全才之一，被称为“计算机之父”和“博弈论之父”。主要贡献是：2进制思想与程序内存思想，当然还有蒙特卡洛方法。通过第一部分，可知，蒙特卡洛方法更多的是一种思想的体现（这点远不同于快排等“严格”类算法），下面介绍最常见的一种应用——随机数生成。
3、U(0,1)随机数的产生
对随机系统进行模拟，便需要产生服从某种分布的一系列随机数。最常用、最基础的随机数是在（0,1）区间内均匀分布的随机数，最常用的两类数值计算方法是：乘同余法和混合同余法。
乘同余法：
其中，
被称为种子，
是模，
是（0,1）区间的随机数。
混合同余法：
其中，
是非负整数。
这些随机数是具有周期性的，模拟参数的选择不同，产生的随机数质量也有所差异。更复杂的生成方法还有：
4、从U(0,1)到其它概率分布的随机数
离散型随机数的模拟
设随机变量X的概率分布为：
，分布函数有
设随机变量U~U(0,1)的均匀分布，则
，表明
的概率与随机变量u落在
与
之间的概率相同。
例如：离散随机变量X有分布律
| X | 0 | 1 | 2 |
| P(x) | 0.3 | 0.3 | 0.4 |
U是(0,1)的均匀分布，则有
，这样得到的x便具有X的分布律。
连续型随机变量的模拟
常用的有两种方法：逆变换法和舍选法。逆变换法
定理：设随机变量Y的分布函数为F(y)是连续函数，而U是(0,1)上均匀分布的随机变量。另
，则X和Y具有相同的分布。
证明：由定义知，X的分布函数
所以X和Y具有相同的分布。
这样计算得
，带入均匀分布的U，即可得到服从
的随机数Y。
例如：设X~U(a,b)，则其分布函数为
则
。所以生成U(0,1)的随机数U，则
便是来自U(a,b)的随机数。
有些随机变量的累计分布函数不存在或者难以求出，即使存在，但计算困难，于是提出了舍选法
要产生服从
的随机数，设x的值域为[a,b]，抽样过程如下：
1.已知随机分布
且x的取值区间也为[a,b]，并要求
，如图： 
2.从
中随机抽样得
，然后由
的均匀分布抽样得
。
3.接受或舍弃取样值
，如果
舍弃该值；返回上一步，否则接受。几何解释如下： 
常数c的选取：c应该尽可能地小，因为抽样效率与c成反比；一般取
。这里的
可以取均匀分布，这样由第二步中两个均匀分布便能得到其他任意分布的模拟抽样。
5、正态随机数的生成
除了上面的反函数法和舍选法，正态随机数还可以根据中心极限定理和Box Muller（坐标变换法）得到。
中心极限定理：如果随机变量序列 
独立同分布，并且具有有限的数学期望和方差
，则对于一切
有
也就是说，当n个独立同分布的变量和，服从
的正态分布（n足够大时）。
设n个独立同分布的随机变量
，它们服从U(0,1)的均匀分布，那么
渐近服从正态分布
。
Box Muller方法，设（X,Y）是一对相互独立的服从正态分布
的随机变量，则有概率密度函数： 
令
，其中
，则
有分布函数： 
令
，则分布函数的反函数得：
。
如果
服从均匀分布U(0,1)，则
可由
模拟生成（
也为均匀分布，可被
代替）。令
为
，
服从均匀分布U(0,1)。得： 
X和Y均服从正态分布。用Box Muller方法来生成服从正态分布的随机数是十分快捷方便的。
下面介绍几种简单的随机数的算法
1 #include <stdio.h> 2 #include <stdlib.h> 3 #include <time.h> 4 5 int main() 6 { 7 int i,j; 8 srand((int)time(0)); 9 for (int i = 0; i < 10; i++)10 {11 for (int j = 0; j < 10; j++)12 {13 printf("%d ",rand());14 }15 printf("\n");16 }17 return 0;18 }
1 #include <stdio.h> 2 #include <stdlib.h> 3 #include <time.h> 4 5 int main() 6 { 7 int i,j; 8 srand((int)time(0)); 9 for (int i = 0; i < 10; i++)10 {11 for (int j = 0; j < 10; j++)12 {13 printf("%d ",rand()*100/32767);14 }15 printf("\n");16 }17 return 0;18 }
也可以生成100——200之间的随机数
1 #include <stdio.h> 2 #include <stdlib.h> 3 #include <time.h> 4 5 int main() 6 { 7 int i,j; 8 srand((int)time(0)); 9 for (int i = 0; i < 10; i++)10 {11 for (int j = 0; j < 10; j++)12 {13 printf("%d ",rand()/1000+100);14 }15 printf("\n");16 }17 return 0;18 }
使用rand()函数获取一定范围内的一个随机数
如果想要获取在一定范围内的数的话，直接做相应的除法取余即可。
1 #include<iostream> 2 #include<ctime> 3 using namespace std; 4 int main() 5 { 6 srand(time(0)); 7 for(int i=0;i<10;i++) 8 { 9 //产生10以内的整数10 cout<<rand()%10<<endl;11 }12 }
1 #include <stdio.h> 2 3 4 double rand0_1(double *r) 5 { 6 double base=256.0; 7 double a=17.0; 8 double b=139.0; 9 double temp1=a*(*r)+b;10 //printf("%lf",temp1);11 double temp2=(int)(temp1/base); //得到余数12 double temp3=temp1-temp2*base;13 //printf("%lf\n",temp2);14 //printf("%lf\n",temp3);15 *r=temp3;16 double p=*r/base;17 return p;18 }19 20 int main()21 {22 double r=5.0;23 printf("output 10 number between 0 and 1:\n");24 for (int i = 0; i < 10; i++)25 {26 printf("%10.5lf\n",rand0_1(&r));27 }28 return 0;29 }
1 #include <stdio.h> 2 3 4 double rand0_1(double *r) 5 { 6 double base=256.0; 7 double a=17.0; 8 double b=139.0; 9 double temp1=a*(*r)+b;10 //printf("%lf",temp1);11 double temp2=(int)(temp1/base); //得到余数12 double temp3=temp1-temp2*base;13 //printf("%lf\n",temp2);14 //printf("%lf\n",temp3);15 *r=temp3;16 double p=*r/base;17 return p;18 }19 20 int main()21 {22 double m=1.0,n=5.0;23 double r=5.0;24 printf("output 10 number between 0 and 1:\n");25 for (int i = 0; i < 10; i++)26 {27 printf("%10.5lf\n",m+(n-m)*rand0_1(&r));28 }29 return 0;30 }
u为均值，
为方差，当n趋向于无穷大的时候，得到随机的随机分布为正态分布；
1 #include <stdio.h> 2 #include <math.h> 3 4 double rand0_1(double *r) 5 { 6 double base=256.0; 7 double a=17.0; 8 double b=139.0; 9 double temp1=a*(*r)+b;10 //printf("%lf",temp1);11 double temp2=(int)(temp1/base); //得到余数12 double temp3=temp1-temp2*base;13 //printf("%lf\n",temp2);14 //printf("%lf\n",temp3);15 *r=temp3;16 double p=*r/base;17 return p;18 }19 20 double random_normality(double u,double t,double *r ,double n)21 {22 double total=0.0;23 double result;24 for (int i = 0; i < n; i++)25 {26 total+=rand0_1(r);27 }28 result=u+t*(total-n/2)/sqrt(n/12);29 return result;30 }31 32 int main()33 {34 double r=5.0;35 double u=2.0;36 double t=3.5;37 double n=12;38 printf("output 10 number between 0 and 1:\n");39 for (int i = 0; i < 10; i++)40 {41 printf("%10.5lf\n",random_normality(u,t,&r,n));42 }43 return 0;44 }
补充知识点：leveldb中使用了一个简单的方式来实现随机化数；算法的核心是seed_ = (seed_ * A) % M,
下面把源代码贴出来，不难，可以和上面的参考下
1 private: 2 uint32_t seed_; 3 public: 4 explicit Random(uint32_t s) : seed_(s & 0x7fffffffu) { 5 // Avoid bad seeds. 6 if (seed_ == 0 || seed_ == 2147483647L) { 7 seed_ = 1; 8 } 9 }10 uint32_t Next() {11 static const uint32_t M = 2147483647L; // 2^31-112 static const uint64_t A = 16807; // bits 14, 8, 7, 5, 2, 1, 013 // We are computing14 // seed_ = (seed_ * A) % M, where M = 2^31-115 //16 // seed_ must not be zero or M, or else all subsequent computed values17 // will be zero or M respectively. For all other values, seed_ will end18 // up cycling through every number in [1,M-1]19 uint64_t product = seed_ * A;20 21 // Compute (product % M) using the fact that ((x << 31) % M) == x.22 seed_ = static_cast<uint32_t>((product >> 31) + (product & M));23 // The first reduction may overflow by 1 bit, so we may need to24 // repeat. mod == M is not possible; using > allows the faster25 // sign-bit-based test.26 if (seed_ > M) {27 seed_ -= M;28 }29 return seed_;30 }31 // Returns a uniformly distributed value in the range [0..n-1]32 // REQUIRES: n > 033 uint32_t Uniform(int n) { return Next() % n; }34 35 // Randomly returns true ~"1/n" of the time, and false otherwise.36 // REQUIRES: n > 037 bool OneIn(int n) { return (Next() % n) == 0; }38 39 // Skewed: pick "base" uniformly from range [0,max_log] and then40 // return "base" random bits. The effect is to pick a number in the41 // range [0,2^max_log-1] with exponential bias towards smaller numbers.42 uint32_t Skewed(int max_log) {43 return Uniform(1 << Uniform(max_log + 1));44 }45 };
这里面也直接取模得到一定范围内的随机数，简单明了。
总之，做个简单的总结
C语言/C++怎样产生随机数：这里要用到的是rand()函数, srand()函数,和time()函数。
需要说明的是，iostream头文件中就有srand函数的定义，不需要再额外引入stdlib.h;而使用time()函数需要引入ctime头文件。
使用rand()函数获取一个随机数
如果你只要产生随机数而不需要设定范围的话，你只要用rand()就可以了：rand()会返回一随机数值, 范围在0至RAND_MAX 间。RAND_MAX定义在stdlib.h, 其值为2147483647。
使用rand函数和time函数
我们上面已经可以获取随机数了，为什么还需要使用time函数呢？我们通过多次运行发现，该程序虽然生成了10个随机数，但是这个10个随机数是固定的，也就是说并不随着时间的变化而变化。
这与srand()函数有关。srand()用来设置rand()产生随机数时的随机数种子。在调用rand()函数产生随机数前，必须先利用srand()设好随机数种子（seed）, 如果未设随机数种子, rand()在调用时会自动设随机数种子为1。
上面的例子就是因为没有设置随机数种子，每次随机数种子都自动设成相同值1 ，进而导致rand()所产生的随机数值都一样。
srand()函数定义 ： void srand (unsigned int seed);
通常可以利用geypid()或time(0)的返回值来当做seed
如果你用time(0)的话，要加入头文件#include<ctime>
time(0)或者time(NULL)返回的是系统的时间（从1970.1.1午夜算起），单位：秒
随机数生成算法【详解，归纳】