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数据结构 之 二叉堆（Heap）

2024-08-04 23:59:19   226人阅读

注：本节主要讨论最大堆（最小堆同理）。

一、堆的概念
    堆，又称二叉堆。同二叉查找树一样，堆也有两个性质，即结构性和堆序性。
    1、结构性质：
    堆是一棵被完全填满的二叉树，有可能的例外是在底层，底层上的元素从左到右填入。这样的树称为完全二叉树（complete binary tree）。下图就是这样一个例子。
    
    对于完全二叉树，有这样一些性质：
    (1)、一棵高h的完全二叉树，其包含2^h ~ (2^(h+1) - 1)个节点。也就是说，完全二叉树的高是[logN]，显然它是O(logN)。
    (2)、完全二叉树可以用数组进行结构表示：

index

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

value


A

B

C

D

E

F

G

H

I

J





    仔细考察该数组的index和元素在树中的分布情况，可以得到：
    对于一个三元素的二叉树，树结构和数组索引有如下关系：
    leftChild.index = 2 * parent.index;
    rightChild.index = 2 * parent.index + 1; 
    (3)、通过前面的讨论，我们可以这样去看待一个堆的数据结构：
    一个数组、当前堆的大小heapLen。
    2、堆序性质：
    使操作被快速执行的性质是堆序性(heap order)。
    堆序性质：在一个堆中，对于每一个节点x，x的父亲中的关键字大于（或等于）x中的关键字，根节点除外（它没有父节点）。
    根据堆序性质，最大元总可以在根处找到。因此，我们以常数时间完成查找操作。
    比较：
    堆序性质的堆：
    
    无堆序性质的堆：
    

二、基本堆操作
    声明：
    int heap[MAX+1];
    int heapLen; //堆的大小

    int leftEle(int i){ return i*2; }
    int rightEle(int i){ return i*2+1; }
    int parentEle(int i){ return i/2; }
    void swap(int i, int j){
        int tmp;
        tmp = i, i = j, j = tmp;
    }
    1、查询操作：    
    int findMax()
    {
        return heap[1];
    }

    函数解析：
    堆的最大值即为根节点元素，直接返回该值即可。
    2、堆维护操作：
    下沉操作：
    void maxHeapify(int i)
    {
        int iLeft = leftEle(i);    //找到该节点的左儿子
        int iRight = rightEle(i);    //找到该节点的右儿子
        int largest = i;    //记录最大值节点，初始为节点自己
        
        //找到最大值对应的节点
        if( iLeft < heapLen && heap[i] < heap[iLeft] )
            largest = iLeft;
        if(iRight < heapLen && heap[largest] < heap[iRight] )
            largest = iRight;
        
        //交换原节点与最大值对应的节点，然后对交换后的节点进行堆维护操作
        if(largest != i)
        {
            swap(heap[i], heap[largest]);
            maxHeapify(largest);
        }
    }
    3、建堆操作：    
    在给出具体如何建堆的操作之前，我们可以考察一下具体应该怎样去实现。
    现在给出一个堆（应该不能称之为堆），这个堆由初始数组构造而成，其结构为：
    
    显然这不是最大堆。
    整个数组为：    
index
83
11
6
15
36
19
value
1
2
3
4
5
6
    经过一系列的操作，我们需要将该堆转换为：
    
    整个最大堆化过程是这样的：自下而上逐层维护堆操作。
    首先，找到第一个有子树的节点，对该节点进行堆维护操作，然后依次向上，进行堆维护。
    这里的问题：
    第一个有子树的节点在哪里？
    ===>>>>>
    对于完全二叉树，叶子节点必然存放在数组的尾端，现在的问题就在于叶子节点到底有多少个？知晓叶子节点的个数后，就可以很容易地确定有子树节点的位置。那么叶子节点到底有多少个呢？
    设完全二叉树总共有n个节点，叶子节点有n0个，由于二叉树的节点的度数最大为2，于是可设度数为1的节点数为n1，度数为2的节点数为n2。
    于是我们可以得到这样几个关系式：
    n0+n1+n2 = n;
    n-1 = 2*n2 + n1;（边数的两种不同表示方式）
    解此方程式，可以得到：    
    n0 = (n+1-n1)/2.
    对于完全二叉树，n1 = 1或0
    当n1=1时，n0=n/2；当n1=0时，n0=(n+1)/2。
    于是我们可以得到叶子节点为总节点数的一半。
    从而有，非叶子节点应该是数组的前半部分。
    ===>>>
    void buildHeap()
    {    
        int i;
        for( i = heapLen/2; i > 0; i--)
            maxHeapify(i);
    }
    4、排序操作：    
    堆排序的关键在于将最大值元素交换到数组尾端，重新进行堆维护操作。依次循环操作，即可以得到排序的数组。
    void heapSort()
    {
        int i;
        buileHeap();
        for( i=heapLen; i>=1; i--)
        {
            swap(heap[heapLen], heap[1]);
            heapLen--;
            maxHeapify(1);
        }
    }
    
    函数解析：
    首先我们先利用堆排序对一数组中的元素进行排序：
23
1
16
9
54
    
    现在进行堆排序：
    a、建堆：
    
    b、交换54和1，并解除堆最后一个元素与原堆的关系：
    
    c、重构堆：
    
    d、依次循环最终得到：
        
    这样，数组变为：
1
9
16
23
54
    从而完成了对数组的排序。
    5、插入元素操作：    
    插入insertHeap():该操作同优先队列(priority queue)中的push操作。
    在介绍具体的插入操作前，需要实现increaseKey(int i, int key)函数，用于更新堆结构。
    上浮操作：
    void increaseKey(int i, int key)
    {
        assert(key >= heap[i]);    //断言key值大于heap[i]，如果不成立，则终止并报错
        heap[i] = key;
        while(i > 1 && heap[parentEle(i)] < heap[i])
        {
            swap(heap[i], heap[parentEle(i)]);
            i = parentEle(i);
        }
    }
    在这里，需要着重介绍一下increaseKey操作的具体步骤，举例说明：
    对于这样一个堆，将节点6的值由8增加到54—>>>:
    
    整个操作过程即为increaseKey(6, 54)。
    整个过程如下：
    
    于是，插入元素到堆的代码如下：
    void insertHeap( int x )
    {
        heapLen++;
        heap[heapLen] = -INF;
        increaseKey(heapLen, x);
    }
    6、删除元素操作：
    删除deleteHeapMax()：相当于优先队列中的pop()操作。
    int deleteHeapMax()
    {
        int ret = heap[1];
        swap(ret, heap[heapLen]);
        heapLen--;
        maxHeapify(1);
        return ret;
    }
三、算法分析：
查询操作
O(1)
堆维护操作
O(logN)
建堆操作
O(NlogN)
堆排序操作
O(NlogN)



来自为知笔记(Wiz)


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