一：线性回归：

例：上一节课的房屋大小与价格数据集

本例中：m：数据个数，x：房屋大小，y：价格

通用符号：

m = 训练样本数

x = 输入变量（特征）

y = 输出变量（目标变量）

(x,y) – 一个样本

 –第i个训练样本 =

对假设进行线性表示  h（x）=θ₀+θ₁*x

在线性回归的问题上大部分都会有多个输入特征，比如这个例子的输入特征可能也有房间大小，卧室数目两个特征，那么就用x₁=房间大小，x₂=卧室数目。则方程式就变成了：

h（x）=θ₀+θ₁*x₁+θ₂*x₂

 为了将公式简洁化，假设x₀=0，则当有n种特征时，公式为：    _{n为特征数目，θ为参数}

 选择θ的目的，是使h(x)与y的平方差尽量小。又由于有m个训练样本，需要计算每个样本的平方差，最后为了简化结果乘以1/2，即（最小二乘法）：（这里的上标 i 表示第几个样本）（最小二乘法的原理需要看一下，http://blog.csdn.net/lotus___/article/details/20546259）

最小二乘法的思想， 使得预测数据尽量接近训练集给出的答案，剩下的问题是求该函数的最小值时 的θ值。）

但是各个xn前面的参数是无法确定的，因此可以采用梯度下降的方法来确定Θn的值。根据最小二乘法，得到误差函数J(Θ)，目标是计算出各个θ，使得J(θ)最小。

我们要做的就是求：min(J(θ))

求min(J(θ))方法：梯度下降和正规方程组

二  梯度下降

梯度下降是一种搜索算法，基本思想：先给出参数向量一个初始值；不断改变，使得 J(θ)不断缩小。

下面就是计算梯度下降的方法：
1. 随机初始化θ
2. 迭代，如果新的θ能够获得使得J(θ)更小
3. 如果J(θ)能够继续减小，那么回到2，继续执行

梯度下降

如图所示，水平坐标轴表示θ₀和θ₁，垂直坐标表示J(θ)

 一开始选择0向量作为初始值，假设该三维图为一个三维地表，0向量的点位于一座“山”上。梯度下降的方法是，你环视一周，寻找下降最快的路径，即为梯度的方向，每次下降一小步，再环视四周，继续下降，以此类推。结果到达一个局部最小值，如下图：

当然，若初始点不同，则结果可能为另一个完全不同的局部最小值，如下：

表明梯度下降的结果依赖于参数初始值。

梯度下降算法的数学表示：

（这些图片θ的下标有的是j，有的是i，这都是各个作者写的方式不同，但是意思都是一样的，就是第几个参数，上标表示第几个样本，下标表示第几个参数）

为赋值运算符，即表示程序中的的赋值语句。

每一次将减去对求偏导的结果，即沿最陡峭的“山坡”下降

（这里的下标j也是表示第几个参数）

：学习速度，步长，手动给出的参数。即决定你下山时每一步迈多大。设的过小，收敛时间长，设的过大，可能会超过最小值

（1）      批梯度下降算法：

上述为处理一个训练样本的公式，将其派生成包含m个训练样本的算法，循环下式直至收敛：

（这里θ的下标表示第i个参数）

复杂度分析：

对于每个的每次迭代，即上式所示，时间为O(m)，每一个样本都对θ的值进行了更新

每次迭代（走一步）需要计算n个特征的梯度值，复杂度为O(mn)

一般来说，这种二次函数的的三维图形为一个碗状，有一个唯一的全局最小值。其等高线为一个套一个的椭圆形，运用梯度下降会快速收敛到圆心。

梯度下降性质：接近收敛时，每次的步子会越来越小。其原因是每次减去乘以梯度，但是梯度会越来越小，所以步子会越来越小。

检测是否收敛的方法：

1)       检测两次迭代的改变量，若不再变化，则判定收敛

2)       更常用的方法：检验，若不再变化，判定收敛

批梯度下降算法的优点是能找到局部最优解，但是若训练样本m很大的话，其每次迭代都要计算所有样本的偏导数的和，当训练集合数据量大时效率比较低，需要的时间比较长，于是采用下述另一种梯度下降方法。

 （2）      随机梯度下降算法（增量梯度下降算法）：

每次计算不需要再遍历所有数据，而是只需计算样本i即可。

即批梯度下降中，走一步为考虑m个样本；随机梯度下降中，走一步只考虑1个样本，也就是一个样本更新一个参数，等n个样本把n个参数一对一都更新了一次后，再换一组样本对参数更新，比如说更新个10次（样本的位置可以换一下，比如第一次样本1对参数θ1进行了更新，下次让 样本1对θ₂更新）。

每次迭代复杂度为O(n)。当m个样本用完时，继续循环到第1个样本。

增量梯度下降算法可以减少大训练集收敛的时间（比批量梯度下降快很多），但可能会不精确收敛于最小值而是接近最小值。

上述使用了迭代的方法求最小值，实际上对于这类特定的最小二乘回归问题，或者普通最小二乘问题，存在其他方法给出最小值，接下来这种方法可以给出参数向量的解析表达式，如此一来就不需要迭代求解了。

3、 正规方程组

给定一个函数J，J是一个关于参数数组的函数，定义J的梯度关于的导数，它自己也是一个向量。向量大小为n+1维（从0到n），如下：

所以，梯度下降算法可写成：

J：关于参数数组的函数；

下三角：梯度

更普遍的讲，对于一个函数f，f的功能是将一个m*n的矩阵映射到实数空间上，即：

假设输入为m*n大小的矩阵A，定义f关于矩阵A的导数为：

导数本身也是个矩阵，包含了f关于A的每个元素的偏导数。

如果A是一个方阵，即n*n的矩阵，则将A的迹定义为A的对角元素之和，即：

trA即为tr(A)的简化。迹是一个实数。

一些关于迹运算符和导数的定理：

1)       trAB = trBA

2)       trABC = trCAB = trBCA

3)      

4)      

5)       若 ，tra = a

6)      

有了上述性质，可以开始推导了：

定义矩阵X，称为设计矩阵，包含了训练集中所有输入的矩阵，第i行为第i组输入数据，即：

则由于，所以可得：

又因为对于向量z，有，则有：

由上述最后一个性质可得：

通过上述6个性质，推导：

倒数第三行中，运用最后一个性质

将置为0，则有：

称为正规方程组

可得：（推导过程知识：迹与矩阵求导）

第二集 监督学习的应用 梯度下降