1.     文法

2. 一个文法可以用一个四元来定义，G = {Vt，Vn，S，P}

Vt：一个非空有限的符号集合，它的每个元素称为终结符号;

1.        Vn：一个非空有限的符号集合，它的每个元素称为非终结符号，并且Vt∩Vn=Φ;
2.       S∈Vn，称为文法G的开始符号;
3.        P是一个非空有限集合，它的元素称为产生式;
4.        产生式是指，其形式为α→β，α称为产生式的左部，β称为产生式的右部，符号“→”表示“定义为”，并且α、β∈(Vt∪Vn)*，α≠ε，即α、β是由终结符和非终结符组成的符号串;
5.        开始符S必须至少在某一产生式的左部出现一次;

   文法可推导的语言标记为L(G);

   根据对产生式所施加的限制的不同，把文法分成0型、1型、2型和3型四种类型。

   1.                 0型文法要求至少含有一个非终结符，基本没有什么限制，一个非常重要的理论结果是：0型文法的能力相当于图灵机
   1.                 1型文法也叫上下文有关文法，对应于线性有界自动机，要求每个产生式α→β，都有|β|>=|α|，|β|指长度；
   2.                 2型文法也叫上下文无关文法，对应于下推自动机，要求在1型文法的基础上，再满足：每一个α→β都有α是非终结符;
   3.                 3型文法也叫正则文法，它对应于有限状态自动机。它是在2型文法的基础上满足：A→α|αB（右线性）或A→α|Bα（左线性)。
   4.                1型文法是0型文法的一个子集，2型文法是1型文法的一个子集，,3型文法是2型文法的一个子集

   3型文法(正则文法)与正则表达式(Regular Expression)是等价的，任意一个正则文法总是可以转化成一个等价的正则表达式。同时正则表达式与有限自动机是等价的。

   一个能由有限自动机识别的语言，必然可以用正则表达式来表示，而一个用正则表达式表示的语言一定可以用一个有限自动机来识别。

    

   有限状态自动机

   有限自动机分为多种最常见的是：确定型有限自动机(DFA)和非确定型有限自动机(NFA)两种;  

   DFA的文法描述是：G = {S，ε, f，S0，Z}	NFA的文法描述是：M = {S，ε, f，S0，Z}
   S：一个非空有限的输入符号集合；	S：一个非空有限的输入符号集合；
   ε：使状态改变的输入符号集合；	ε：使状态改变的输入符号集合；
   f：映射；	f：映射；
   S0：初始状态；	S0：初始状态集合；
   Z：终止状态；	Z：终止状态；

   f(S,a)=G的描述是：初始S状态再输入a的条件下转化到G状态：

   每一个NFA都可以转化为一个DFA如图：

   

   DFA和NFA的效率差异

   很容易理解，构造DFA的代价远大于NFA，假设NFA的状态数为K，那么等价DFA的状态数目理论上可达2的k次方，不过实际上几乎不会出现这么极端的情况，

   可以肯定的是构造DFA会消耗更多的时间和内存。

   但是DFA一旦构造好了之后，执行效率就非常理想了，如果一个串的长度是n，那么匹配算法的执行复杂度是O(n);而NFA在匹配过程中，存在大量的分支和回朔，

   假设NFA的状态数为s，因为每输入一个字符可能达到的状态数做多为s，那么匹配算法的复杂度及时输入串的长度乘以状态数O(ns)。

   正则表达式的NFA&DFA构造、转化、简化有一整套理论及方法，远比上面的例子复杂，本文仅通过一个简单的例子来说明原理。

        NFA:表达式主导

   从表达式的第一个部分开始，每次检查一部分，同时检查当前文本是否匹配表达式的当前部分，如果是，则继续表达式的下一部分，如此继续，

   直到表达式的所有部分都能匹配，即整个表达式匹配成功。

   我们来看表达式 to(nite|knight|night) 匹配文本 ...tonight... 的过程: 表达式的第一个部分是t，它会不断重复扫描，直到在字符串中找到t，

   之后就检查随后的o，如果能匹配就继续检查下面的元素。这个例子中，下面的元素是(nite|knight|night) ，意思是nite或者knight或者night，引擎

   会依次尝试这三种可能。

   整个过程，控制权在表达式的元素之间转换，因此被称之为“表达式主导”。“表达式主导”的特点是每个子表达式都是独立的，不存在内在联系。

   子表达式与整个正则表达式的控制结构(多选、量词)的层级关系控制了整个匹配过程。

         DFA：文本主导

   DFA在读入一个文本的时候，会记录当前有效的所有匹配的表达式位置(这些位置集合对应于DFA的一个状态)。以上面的匹配过程为例：

   1.        当引擎读入文本t时，记录匹配的位置是 t o(nite|knight|night)；
   2.        接着读入o，匹配位置t o (nite|knight|night)；
   3.        读入n，匹配位置to( n ite|knight| n ight)，两个位置，knight被淘汰出局；
   4.        ...

   这种方式被称之“文本主导”是因为被扫描的字符串，控制了引擎的执行过程。

        差异之一：NFA表达式影响引擎

   NFA表达式主导的特性，使得通过修改正则表达式来影响引擎，因此下面三个表达式尽管能够匹配同样的文本，但是引擎的执行过程各不相同：

   1.        to(nite|knight|night)
   2.        tonite|toknight|tonight
   3.        to(k?night|nite)

   但是对于DFA来说，没有任何区别。

        差异之二：DFA能保证最长匹配

   对于包含或选项的表达式，NFA在成功匹配一个选项之后可能报告匹配成功，此时并不知道后面的选项是否也会成功，是否包含一个更长的匹配。

   假设使用 one(self)?(selfsufficient)? 来匹配 oneselfsufficient ，NFA首先匹配one，然后匹配self，此时发现 selfsufficient 无法匹

   配剩余子串，但是这个子表达式不是必须的，因此可以立即返回成功，此时匹配的串为 oneself 。

   实际上NFA引擎的匹配结果与具体实现有关，而DFA必然会成功匹配oneselfsufficient 。

        差异之三：NFA支持更多功能

   NFA能够支持“捕获group”，“环视”，“占有优先量词”，“固话分组”等高级功能，这些功能都基于“子表达式独立进行匹配”这一特点。

   而DFA无法记录匹配历史与子表达式之间的关系，因而也无法实现这些功能。

   可见NFA引擎具备更大的实用价值，因而，我们在编程语言里面使用的正则表达式库都是基于NFA的。java的Pattern就是基于NFA的，Pattern.compile()

   方法显然就是在构造NFA状态图。

   1.      参考：    http://www.cnblogs.com/longhuihu/p/4128203.html

南瓜不说话(M01)-正则表达式原理