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浅谈数值稳定性

今天谈论的重点是数值稳定性,在计算机编程中,有时候同一个计算问题,不同算法中舍入误差对计算的结果产生的影响各不相同,舍入误差对计算结果的精确度影响小的算法,具有较好的数值稳定性;反之,算法的数值稳定性差。所设计的算法的舍入误差在一定条件下要能够控制。否则就像蝴蝶效应一样,使风和日丽的美洲几个月后出现狂风暴雨。

 

接下来我们先来看一个比较经典的例子。

 

题目:计算如下积分的值

 

    

 

分析:很容易,可以进行如下推导过程

 

    

 

根据这个递推式,可以计算任意的,但是我们再计算一下放大的误差,得到

 

      

 

可以看出误差是逐渐放大的,在一定范围内无法控制,这样做的结果就是最终答案与真实答案相差十万八千里。

 

为了提高数值的稳定性,我们在设计算法时需要遵循如下几个原则

 

(1)尽量减少运算次数

(2)加法运算时,避免大数加小数

(3)避免两个相近数相减

(4)避免小数做除数或大数做乘数

 

(1)尽量减少运算次数

 

   比如计算多项式的秦九韶算法,再比如下例

 

    题目:计算的值,要求精确到

 

    分析:用两种方法进行比较,以此说明运算次数的重要性。首先采用如下公式计算

 

        

 

         即得到

 

        

 

         要精确到,就要计算100000项,而且还有精度损失,此方法效率太低。再考虑另一种方法

 

        

 

         这样的话取,得到

 

        

 

         要精确到,只需要计算前4项就行了,因为

 

         

 

         可以看出第二种方式大大减少了计算量,精度相应也会损失很少。

 

 

(2)加法运算时,避免大数加小数

 

      针对浮点数来说,由于有效数字的保留问题,大数会“吃掉”小数。

 

 

(3)避免两个相近数相减

 

    比如在二次方程求根问题中,解,如果并且接近,这样求出

 

    

 

    其中有两个相近的数相减,这会导致误差增大,但是考虑另一种方法,先计算出

 

    

 

    然后再根据

 

   

 

    计算得到,这样做误差大大降低。

 

 

(4)避免小数做除数或大数做乘数

 

    高斯消元中,选主元与不选主元计算得到的结果有差异,因为如果不选主元可能遇到小数做除数的情况。从

    而导致结果出现偏差。


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