1. 什么是随机变量？

    在（一）中已经介绍 样本空间$\Omega$和基本事件$\omega$,若对任意$\omega$有唯一$X(\omega) \in R$，我们则称$X$为随机变量（取值函数）。注意$\{\omega|X(\omega)=x\}\subset \Omega $,一般简写

\[P(\{\omega|X(\omega)=x\})=P(X=x)\]

    有时我们不仅要知道$P(X=x)$的值，也需要知道$P(a\leq X \leq b)$和$P(X\leq x)$，$P(X \geq x)$的值。根据事件之间的运算和柯尔莫哥洛夫三公理，我们选取

\[F(x)=P(X\leq x)\]

    作为我们研究的对象，称$F(x)$为分布函数(acmulative distribution function)。当然也可以定义其他类型的“分布函数”,。关于随机变量的研究是概率论的中心内容。我们这样定义的分布函数有下面的性质：

              (i)  $F(-\infty)=0,F(+\infty)=1$

(ii) $F(x)$是单调递增的

                                    (iii) 分析$F(x)$的连续性和可微性已经涉及到极限运算

    根据随机变量的取值类型，随机变量可以分为离散型随机变量和连续型随机变量。对离散型随机变量称$P(X=x)$为概率质量函数。比较常见的有

(1) 二项分布

     抛硬币实验，假设硬币材质均匀，抛$n$次，有$k$次都是正面朝上，这个事件的概率是多大呢？这是古典概率的东西，无非是排列组合。

\[P(X=k)=C_{n}^{k}(\frac{1}{2})^{n-k}(\frac{1}{2})^{k}\]

   当硬币材质非均匀时，设朝上的概率为$p$,并记朝上为成功事件则

\[P(X=k)=C_{n}^{k}p^{k}(1-p)^{n-k}\]

 我们能算出上述$k$取多少时，概率达到最大。有了上面的概率质量函数，分布函数是容易求出的无非是有限项的和。

引入极限，当$n \to \infty$时，我们需要一些近似估计便于计算。日后再表。另一种极限就是$p$很小时的估计。

二项分布$b(n,p)$及其重要，它和$Possion$分布以及大名鼎鼎的$Gauss$分布都存在血缘关系，可以算作他们的Father. 概率论发源早期也着重在

(2) 几何分布

    进行一项独立实验例如抛硬币，直至出现正面事件成功概率为$p$，结束实验，问在第$k$次实验成功的概率是多少？

\[P(X=k)=(1-p)^{k-1}p\]

(3) Possion分布

    一段时间内，某交通路口所发生的交通事故的个数？

    解决这个问题的基本思路是这样的，将时间$[0, 1]$划分$n$段，$n$足够大以至于在这么短暂的时间内只能发生一次事故，发生事故的概率与时间长成正比$\frac{\lambda}{n}$。$k$起事故服从二项分布,概率为

\[P(x=k)=C_{n}^{k}(\frac{\lambda}{n})^{k}(1-\frac{\lambda}{n})^{n-k}\]

令$n \to \infty$得到

\[P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!}\]

上述分布称为$Possion$分布，从上可看出$p=n\lambda$,$n$很大时$p$很小，当$p \leq 0.003$时称为小概率事件，$\lambda$具有统计学意义“均值”。

下面介绍常见的连续型随机变量的分布： 

首先引入概率密度函数$f(x)$，概率密度函数是累积分布函数$F(x)$的导数，有下面的三条性质：

                        (i) $f(x)\geq 0$

                       (ii) $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1$

                       (iii)$P(a\leq x \leq b)=F(b)-F(a)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx$

 (4) Gauss 分布

    这个分布是所有分布里最重要的分布

\[f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma ^{2}}}\]

 关于这个分布的来源很多教课书没有作太多的介绍，她是和误差估计、最小二乘法、中心极限定理等相关的，网络上有一篇非常著名的文章《关于正态分布的前世今生》作了详细介绍，非常精彩。

 当$\mu=0,\sigma=1$时

\[f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2}\]