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NAV导航网格寻路 -- 一些必要的计算几何知识

在继续下面的nav网格生成算法之前，先介绍一下涉及到的计算几何知识。这里只罗列出结论，要详细了解参考相关书籍。

• 矢量加减法：
  　设二维矢量P = ( x1, y1 )，Q = ( x2 , y2 )，则矢量加法定义为： P + Q = ( x1 + x2 , y1 + y2 )，同样的，矢量减法定义为： P - Q = ( x1 - x2 , y1 - y2 )。显然有性质 P + Q = Q + P，P - Q = - ( Q - P )。
• 矢量叉积
  设矢量P = ( x1, y1 )，Q = ( x2, y2 )，则矢量叉积定义为由(0,0)、p1、p2和p1+p2所组成的平行四边形的带符号的面积，即：P × Q = x1*y2 - x2*y1，其结果是一个标量。显然有性质 P × Q = - ( Q × P ) 和 P × ( - Q ) = - ( P × Q )。
• 折线段的拐向判断：
  　　折线段的拐向判断方法可以直接由矢量叉积的性质推出。对于有公共端点的线段p0p1和p1p2，通过计算(p2 - p0) × (p1 - p0)的符号便可以确定折线段的拐向：
  　　若(p2 - p0) × (p1 - p0) > 0,则p0p1在p1点拐向右侧后得到p1p2。
  　　若(p2 - p0) × (p1 - p0) < 0,则p0p1在p1点拐向左侧后得到p1p2。
  　　若(p2 - p0) × (p1 - p0) = 0,则p0、p1、p2三点共线。
• 判断两线段是否相交：
  　　我们分两步确定两条线段是否相交：
  　　(1)快速排斥试验
  　　　　设以线段 P1P2 为对角线的矩形为R， 设以线段 Q1Q2 为对角线的矩形为T，如果R和T不相交，显然两线段不会相交。
  　　(2)跨立试验
  　　　　如果两线段相交，则两线段必然相互跨立对方。若P1P2跨立Q1Q2 ，则矢量 ( P1 - Q1 ) 和( P2 - Q1 )位于矢量( Q2 - Q1 ) 的两侧，即( P1 - Q1 ) × ( Q2 - Q1 ) * ( P2 - Q1 ) × ( Q2 - Q1 ) < 0。上式可改写成( P1 - Q1 ) × ( Q2 - Q1 ) * ( Q2 - Q1 ) × ( P2 - Q1 ) > 0。当 ( P1 - Q1 ) × ( Q2 - Q1 ) = 0 时，说明 ( P1 - Q1 ) 和 ( Q2 - Q1 )共线，但是因为已经通过快速排斥试验，所以 P1 一定在线段 Q1Q2上；同理，( Q2 - Q1 ) ×(P2 - Q1 ) = 0 说明 P2 一定在线段 Q1Q2上。所以判断P1P2跨立Q1Q2的依据是：( P1 - Q1 ) × ( Q2 - Q1 ) * ( Q2 - Q1 ) × ( P2 - Q1 ) >= 0。同理判断Q1Q2跨立P1P2的依据是：( Q1 - P1 ) × ( P2 - P1 ) * ( P2 - P1 ) × ( Q2 - P1 ) >= 0。
  
• 凸多边形
  假设我们在一个多边形上(包括多边形的边界及边界围封的范围)任意取两点并以一条线段连结该两点，如果线段上的每一点均在该多边形上，那么我们便说这个多边形是凸的。
• 凸包
  给定平面上的一个(有限)点集(即一组点)，这个点集的凸包就是包含点集中所有点的最小面积的凸多边形。
  
• 点在凸多边形中的判断
  假设多边形是凸的，而且顶点p0,p1,...,pn按顺时针方向排列，则点在多边形任意一边 pi-1, pi 的右面。
• Voronoi图及对偶图
  
• Delaunay三角剖分（Voronoi对偶图）
  
  在实际中运用的最多的三角剖分是Delaunay三角剖分，它是一种特殊的三角剖分。先从Delaunay边说起：
      【定义】Delaunay边：假设E中的一条边e（两个端点为a,b），e若满足下列条件，则称之为Delaunay边：存在一个圆经过a,b两点，圆内(注意是圆内，圆上最多三点共圆)不含点集V中任何其他的点，这一特性又称空圆特性。
      【定义】Delaunay三角剖分：如果点集V的一个三角剖分T只包含Delaunay边，那么该三角剖分称为Delaunay三角剖分。
  以下是Delaunay剖分所具备的优异特性：
      1.最接近：以最近临的三点形成三角形，且各线段(三角形的边)皆不相交。
      2.唯一性：不论从区域何处开始构建，最终都将得到一致的结果。
      3.最优性：任意两个相邻三角形形成的凸四边形的对角线如果可以互换的话，那么两个三角形六个内角中最小的角度不会变大。
      4.最规则：如果将三角网中的每个三角形的最小角进行升序排列，则Delaunay三角网的排列得到的数值最大。
      5.区域性：新增、删除、移动某一个顶点时只会影响临近的三角形。
      6.具有凸多边形的外壳：三角网最外层的边界形成一个凸多边形的外壳。
• 多边形裁剪
  
  Weiler-Athenton算法

–主多边形：被裁剪多边形，记为A

–裁剪多边形：裁剪窗口，记为B

多边形顶点的排列顺序（使多边形区域位于有向边的左侧 ）外环：逆时针 ；内环：顺时针

主多边形和裁剪多边形把二维平面分成两部分。

内裁剪：A∩B

外裁剪：A-B

裁剪结果区域的边界由A的部分边界和B的部分边界两部分构成，并且在交点处边界发生交替，即由A的边界转至B的边界，或由B的边界转至A的边界。

如果主多边形与裁剪多边形有交点，则交点成对出现，它们被分为如下两类：

进点：主多边形边界由此进入裁剪多边形内  如，I1,I3, I5, I7, I9, I11

出点：主多边形边界由此离开裁剪多边形区域. 如， I0,I2, I4, I6, I8, I10 

算法步骤

(1)建立空的裁剪结果多边形的顶点表．

(2)选取任一没有被跟踪过的交点为始点，将其输出到结果多边形顶点表中．

(3)如果该交点为进点，跟踪主多边形边边界；否则跟踪裁剪多边形边界．

(4) 跟踪多边形边界，每遇到多边形顶点，将其输出到结果多边形顶点表中，直至遇到新的交点．

(5)将该交点输出到结果多边形顶点表中，并通过连接该交点的双向指针改变跟踪方向（如果上一步跟踪的是主多边形边界，现在改为跟踪裁剪多边形边界；如果上一步跟踪裁剪多边形边界，现在改为跟踪主多边形边界）．

(6)重复(4)、(5)直至回到起点

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