对手论证，一般用于给出问题的下界。若用$P$表示所讨论的问题，$I$表示问题的输入，$A$表示解决问题的基于比较运算的算法，$T(\,A,\,I)$表示对于输入$I$，算法$A$的计算时间复杂性，那么函数$U(n)=min\{max\{T(A,\,I)\},\text{ for each } I\},\text{for each } A$表示问题$P$在输入大小为$n$时在最坏情况下的最好时间下界，它是问题所固有的。

对手论证的基本思想是对每一个$A$构造一个输入特殊的输入$I‘$，使$T(A,\,I‘)$尽量地大，然后在所有$A$的集合上，求$T(A,\,I‘)$的尽量小的下界作为$f(n)$。对手论证方法的关键在于有一套对于一切$A$的适用的构造符合要求的$I‘$的策略，即对手策略，逐步第构造出一个输入$I‘$，使算法$A$如果想达到预期的结果，要做尽量多次的比较和判断，从而使$T(A,\,I‘)$尽量大。需要注意的是，一方面对手策略需具有一致性，即不能前后矛盾，以保证$I‘$的存在性；另一方面对手策略还必须对一切$A$都适用，因为我们需要在一切$A$组成的集合上求$T(A,\,I‘)$得下界。

1. Find $2^{nd}$ Largest Number

我们知道，找到数组中元素的最大值，需要至少进行$n-1$次比较，那么找到第二大的呢？暴力算法就是在找一次最大呗，又是$n-2$次比较，总共是$2n-3$次比较。乍看起来也不错了，但是通过对手论证的分析，比较的总次数可以减少为$n+\lceil \log n \rceil -2$次。How to？

其实，所谓的第二大的元素，应该是在比较中仅仅输给了最大元素，也就是说，只有跟最大的那个元素比过的败者才有可能是。我们下面要说明的是，我们要找的第二大的元素应该是在那些跟最大元素比过的$\lceil \log n \rceil$个元素中。

在对手论证中，我们每次都是选择两两配对，然后进行比较，这样的话，每次配对完后的比较，数据规模都缩减一半，也就是说，总共经过$\lceil \log n \rceil$轮的比较，把这些输给最大数的元素拿出来，进行一次find-Max，开销是$O(\lceil \log n \rceil)$就可以找到第二大的啦！！

这里其实并不是严格的论证，只是证明了这个界是可以达到的，详细证明请参见这儿

2. Find Max and Min

这里也能够使用对手论证的方式得出其最少的比较次数为$\left\lceil \frac{3}{2}n \right\rceil - 2$，具体的证明同样参见上述链接

下面，我们就来说说是怎么办到的吧，首先两两配对，共进行$\left\lceil \frac{1}{2}n \right\rceil$次比较，将这里面的胜者和败者分别分为两组，再在两组内分别挑选Max和Min，代价是$2\times (\left\lceil \frac{1}{2}n \right\rceil-1)$，这样就可以得到Max和Min，总共的比较次数就是$\left\lceil \frac{3}{2}n \right\rceil - 2$啦。

3. Matrix Search

这个问题有一个十分美好的前提，那就是我们所给的$n\times n$矩阵是行列皆有序的，在这样的条件下，我们要寻找某个元素$x$在不在矩阵中，通过对手论证，我们可以做到线性时间$O(n)$。

首先是一个并不高效的方法，对每一行采用二分搜索，最多搜索$n$行，所以复杂度为$O(n\log n)$

这里有一个超级机智的算法，<Step-wise线性搜索>从右上角开始，每次将搜索值$x$与右上角的值比较，如果大于右上角的值，则直接去除1行，否则，则去掉1列。如下所示，展示了在矩阵中查找$x=28$的过程

在对手论证中，我们只需要尽可能的构造一个数去查找，但是总是不满足条件，比如找不到的情况，就能达到最坏情况，而最短时间就是采用这种<Step-wise>方法了。这种查找方式最多也就是遍历完两遍对角线，总共的探查次数最多为$n+n-1=2n-1$，所以复杂度为$O(n)$。

4. 25 Horses select $1^{st}, 2^{nd}, 3^{rd}$

问题描述：有25匹赛马，一片场地只有5条赛道，现在要求你用尽可能少的比赛场次来选出最快的前三名。

首先，至少每一匹马都有机会去跑一遍，所以至少要先比赛5场，得出总共25匹马的5个小组排名。接着，就是把每一组的冠军拿出来遛遛，第6场过后，我们就能选出冠军了，同时，我们也知道这第六场中的最后两名一定不可能是前三名了，因为他们至少都要输给已知的3匹马。顺带着，这两匹不可能的赛马所在小组里的马厩都不可能了，想想小组第一都败了。（咦，当年翁学姐小组第一但是没出线就是这么一回事儿啊！！！）那么问题来了，下面只用一场比赛能够搞定么？答案是：可以！！

我们先给出竞赛的情况，

每一行上，从快到慢排序，不失一般性，小组第一的就是$X1,\ X=A,B,C,D,E$，我们假设第六场比赛$A1>B1>C1>D1>E1$，$>$表示快的比较。那么$A1$一定是冠军！下面可能是第二、第三的只可能是$A2,\,A3,\,B1,\,B2,\,C1$这5个。为什么不可能是$C2$呢？因为$C2$至少输给了$C1$，而$C1$又至少输给了$A1$和$B1$，那么$C2$的最好成绩也不过是第四，其他的情况也是类似的分析。
所以在这第七场，遛一遛$A2,\,A3,\,B1,\,B2,\,C1$，就有第二、第三名产生了。

<算法的Mid-Exam的三大分析方法至此完结撒花！>

[算法Tutorial]Adversary Argument，对手论证