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第十五章 动态规划——矩阵链乘法

2024-07-31 13:04:36   225人阅读

前言：今天接着学习动态规划算法，学习如何用动态规划来分析解决矩阵链乘问题。首先回顾一下矩阵乘法运算法，并给出C++语言实现过程。然后采用动态规划算法分析矩阵链乘问题并给出C语言实现过程。

1、矩阵乘法
　
　　
 
 
 
　　
　　从定义可以看出：只有当矩阵A的列数与矩阵B的行数相等时A×B才有意义。一个m×r的矩阵A左乘一个r×n的矩阵B，会得到一个m×n的矩阵C。在计算机中，一个矩阵说穿了就是一个二维数组。一个m行r列的矩阵可以乘以一个r行n列的矩阵，得到的结果是一个m行n列的矩阵，其中的第i行第j列位置上的数等于前一个矩阵第i行上的r个数与后一个矩阵第j列上的r个数对应相乘后所有r个乘积的和。采用C++语言实现完整的两个矩阵乘法，程序如下所示：
#include<iostream>#include<cstdlib>using namespace std;#define A_ROWS        3#define A_COLUMNS     2#define B_ROWS        2#define B_COLUMNS     3void matrix_multiply(int A[A_ROWS][A_COLUMNS],int B[B_ROWS][B_COLUMNS],int C[A_ROWS][B_COLUMNS]){    if(A_COLUMNS!=B_ROWS)    {        cout<<"incompatible dimensions"<<endl;        exit(1);    }    int i,j,k;    for(i=0;i<A_ROWS;i++)        for(j=0;j<B_COLUMNS;j++)    {        C[i][j]=0;        for(k=0;k<A_COLUMNS;k++)            C[i][j]+=A[i][k]*B[k][j];    }}int main(){    int C[A_ROWS][B_COLUMNS];    int A[A_ROWS][A_COLUMNS]={{1,2},{3,4},{5,6}};    int B[B_ROWS][B_COLUMNS]={1,2,3,4,5,6};    matrix_multiply(A,B,C);    int i,j;    for(i=0;i<A_ROWS;i++)    {        for(j=0;j<B_COLUMNS;j++)            cout<<C[i][j]<<" ";        cout<<endl;    }}

2、矩阵链乘问题描述

　　给定n个矩阵构成的一个链<A1,A2,A3,.......An>，其中i=1,2,...n，矩阵A的维数为pi-1pi，对乘积 A1A2...An 以一种最小化标量乘法次数的方式进行加全部括号。

　　注意：在矩阵链乘问题中，实际上并没有把矩阵相乘，目的是确定一个具有最小代价的矩阵相乘顺序。找出这样一个结合顺序使得相乘的代价最低。

3、动态规划分析过程

1）最优加全部括号的结构

　　动态规划第一步是寻找一个最优的子结构。假设现在要计算AiAi+1....Aj的值，计算Ai...j过程当中肯定会存在某个k值（i<=k<j）将Ai...j分成两部分，使得Ai...j的计算量最小。分成两个子问题Ai...k和Ak+1...j，需要继续递归寻找这两个子问题的最优解。

　　有分析可以到最优子结构为：假设AiAi+1....Aj的一个最优加全括号把乘积在Ak和Ak+1之间分开，则Ai..k和Ak+1..j也都是最优加全括号的。

2）一个递归解

　　设m[i,j]为计算机矩阵Ai...j所需的标量乘法运算次数的最小值，对此计算A1..n的最小代价就是m[1,n]。现在需要来递归定义m[i,j]，分两种情况进行讨论如下：

当i==j时：m[i,j] = 0，（此时只包含一个矩阵）

当i<j 时：从步骤1中需要寻找一个k（i≤k＜j）值，使得m[i,j] ＝min{m[i,k]+m[k+1,j]+pi-1pkpj} （i≤k＜j）。

3）计算最优代价

　　虽然给出了递归解的过程，但是在实现的时候不采用递归实现，而是借助辅助空间，使用自底向上的表格进行实现。设矩阵Ai的维数为pi-1pi，i=1,2.....n。输入序列为：p=<p0，p1,...pn>，length[p] = n+1。使用m[n][n]保存m[i,j]的代价，s[n][n]保存计算m[i,j]时取得最优代价处k的值，最后可以用s中的记录构造一个最优解。书中给出了计算过程的伪代码，摘录如下：

MAXTRIX_CHAIN_ORDER(p)  n = length[p]-1;  for i=1 to n      do m[i][i] = 0;  for t = 2 to n  //t is the chain length       do for i=1 to n-t+1                     j=i+t-1;                     m[i][j] = MAXLIMIT;                     for k=i to j-1                            q = m[i][k] + m[k+1][i] + qi-1qkqj;                            if q < m[i][j]                               then m[i][j] = q;                                    s[i][j] = k;  return m and s;

C++代码：

#include<iostream>using namespace std;#define N 6#define MAXVALUE 100000000void matrix_chain_order(int *p,int m[N+1][N+1],int s[N+1][N+1]){    int i,j,l,k;    for(i=1;i<=N;i++)        m[i][i]=0;    for(l=2;l<=N;l++)    {        for(i=1;i<=N-l+1;i++)        {            j=i+l-1;            m[i][j]=MAXVALUE;            for(k=i;k<=j-1;k++)            {                int temp=m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j];                if(temp<m[i][j])                {                    m[i][j]=temp;                    s[i][j]=k;                }            }        }    }}void print_optimal_parens(int s[N+1][N+1],int i,int j){    if(i==j)        cout<<"A"<<i;    else    {        cout<<"(";        print_optimal_parens(s,i,s[i][j]);        print_optimal_parens(s,s[i][j]+1,j);        cout<<")";    }}int main(){    int p[N+1] = {30,35,15,5,10,20,25};    int m[N+1][N+1]={0};    int s[N+1][N+1]={0};    int i,j;    matrix_chain_order(p,m,s);    cout<<"m value is: "<<endl;    for(i=1;i<=N;++i)    {        for(j=1;j<=N;++j)            cout<<m[i][j]<<" ";        cout<<endl;    }    cout<<"s value is: "<<endl;    for(i=1;i<=N;++i)    {        for(j=1;j<=N;++j)            cout<<s[i][j]<<" ";        cout<<endl;    }    cout<<"The result is:"<<endl;    print_optimal_parens(s,1,N);    return 0;}

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