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对角化

  • 不同特征值所定义的特征子空间的和是直和
  1. 直和===子空间的一组基可以成为原空间的一组基
  2. 直和===零向量是分解唯一的
  3. 不同的特征值所求出的特征向量一定是线性无关的(有一个特征值至少可以求出一个非零的特征向量,在特征子空间里取出一个特征向量)



 

定义线性变换可以对角化:线性变换有n个不同(线性无关的)的特征向量

推理::::判断一个矩阵/线性变换是否可以对角化的充分条件(不是必要条件):线性变换有n个不同的特征值(线性变换的特征多项式没有重根)

推理::::线性变换的所有特征值的所对对应的特征子空间:先对角化当且仅当-----特征子空间的直和等于全空间(子空间的一组基可以拼接在一起等于全空间的一组基)

-------------------------------------------------------(同一个特征子空间的特征基向量一定的线性无关,而又证明不同的特征值的特征向量也是线性无关,故定理等价为定义(存在n个不同(线性无关的)的特征向量))

推理:可对角化的判定

λ是特征值,V是特征子空间------V的重数

代数重数:特征值作为特征多项式的根的重数(代数方程)

几何重数:(特征子空间的维数)

对任何的特征值而言----------其几何重数小于等于其代数重数

  • 子空间的一组基一定可以扩张为原空间的一组基

完全的特征向量系(一个线性变换/一个矩阵)对于其任何一个特征值,其几何重数等于其代数重数,则称矩阵有完全的特征向量系

  • 线性变换可对角化则称线性变换有完全的特征向量系(充分必要条件)



 

 

不同特征值的特征子空间的和都是直和但不一定等于全空间

  • 可对角化的应用:

 

 



 

可对角化的集合原型:就是对于线性变换可以找到一组基,使线性变换可以在某一组基下的表示矩阵等于对角矩阵,

则问题出现是否可以对角化,对角线的值,基过渡矩阵 

P-1AP=寻找相似的对角矩阵

P是不唯一的------------------------------------------如何判断是否可对角化并且求出P--------几何重数与代数重数是否是相等的




 可对角化矩阵的幂

 

特征子空间的维数----------解空间的维数-------λI-A的矩阵的秩

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  1. 可对角化相对于不可对角化举证来说是多得多

 

对角化