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二分查找的平均查找长度详解【转】

来源:http://blog.csdn.net/turne/article/details/50488378

看数据结构书的时候碰上的内容,我自己将它化成关于级数的题,然后自己算的过程,基本就是等比级数和等差级数的混合内容。
满二叉树来分析折半查找的平均长度
 
h=层高 n=节点数
[]为计算过程的式
 
先算总查找次数
1*1+2*2+3*4+4*8...(h-1)*2^(h-2)+h*2^(h-1)  ………………[1]
 
[1]*2:
 
1*2+2*4+3*8+4*16...(h-1)*2^(h-1)+h*2^h  ……………………[2]
 
[2]-[1]:
[1]*2-[1]=[3]:
[1]=[3]:
 
-1*1-1*2-1*4-1*8-1*16...-2^(h-1)+h*2^h  ……………………… [3]
 
[4]+h*2^h=[3]…………………………………………………………………………[3.1]
 
-1*1-1*2-1*4-1*8-1*16...-2^(h-1) ……………………………………… [4]
 
[4]*2-[4]=[5]=[4]
 
-2^h+1  …………………………………………………………………………………… [5]
 
因为[5]=[4],所以把[5]代入[3.1]可以得到下面的结果
[3]=[5]+h*2^h  =  -2^h+1+h*2^h=(h-1)*2^h+1
 
由于 (n+1=2^h),所以有
 
[3]=(n+1)log(n+1)-(n+1)+1
    =(n+1)log(n+1)-n
 
最后,来求查找次数平均数
[3] /n = ((n+1)log(n+1)-n)/n
         
最终,平均查找长度约等于log(n+1)-1
 
上面的所有对数log的底数皆为2.
 
 

二分查找的平均查找长度详解【转】