1. 计算 $$\bex \lim_{x\to 0^+}\dfrac{\int_0^x e^{-t^2}\rd t-x}{\sin x-x}. \eex$$

2. 讨论广义积分 $\dps{\int_1^\infty \sez{\ln \sex{1+\dfrac{1}{x}}-\sin \dfrac{1}{x}}}$ 的敛散性.

3. 函数 $$\bex f(x,y)=\sedd{\ba{ll} \sex{1-\cos \dfrac{x^2}{y}}\sqrt{x^2+y^2},&y\neq 0;\\ 0,&y=0. \ea} \eex$$ $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处可微么? 证明你的结论.

4. 计算 $$\bex \int_L e^x[(1-\cos y)\rd x-(y-\sin y)\rd y], \eex$$ 其中 $L$ 去曲线 $y=\sin x$ 从 $(0,0)$ 到 $(\pi,0)$.

5. 证明函数项级数 $$\bex \sum_{n=0}^\infty \dfrac{\cos nx}{n^2+1} \eex$$ 在 $(0,2\pi)$ 上一致收敛, 并且在 $(0,2\pi)$ 上有连续导数.

6. 设 $$\bex x_0=1,\quad x_{n+1}=\dfrac{3+2x_n}{3+x_n},\quad (n\geq 0). \eex$$ 证明数列 $\sed{x_n}$ 收敛并求其极限.

7. 设函数 $f\in C^2(\bbR^2)$, 且对任意 $(x,y)\in\bbR^2$, $$\bex \dfrac{\p^2f}{\p x^2}(x,y)+\dfrac{\p^2f}{\p y^2}(x,y)>0. \eex$$ 证明: $f$ 没有极大值点.

8. 设 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续, 在 $(a,b)$ 内可导, 且 $f(b)>f(a)$, $\dps{c=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}}$. 证明 $f$ 必具备下述两条性质中的一个:

(1). 任意 $x\in [a,b]$, 有 $f(x)-f(a)=c(x-a)$.

(2). 存在 $\xi\in (a,b)$ 使得 $f‘(\xi)>c$.

9. 设 $F:\bbR^3\to \bbR^2$ 是 $C^1$ 映射, $x_0\in\bbR^3$, $y_0\in\bbR^2$, $F(x_0)=y_0$, 且 $F$ 在 $x_0$ 处的 Jacobi 矩阵 $D F(x_0)$ 的秩为 $2$. 证明: 存在 $\ve>0$, 以及 $C^1$ 映射 $\gamma(t):\ (-\ve,\ve)\to\bbR^3$, 使得 $\gamma‘(0)$ 是非零向量, 且 $F(\gamma(0))=y_0$.

10. 设开集 $U\subset\bbR^n$, $f:U\to \bbR^n$ 是同胚映射, 且 $f$ 在 $U$ 上一致连续. 证明: $U=\bbR^n$.

参考解答见家里蹲大学数学杂志.

北京大学2015年数学分析考研试题