题目描述:

近日，项目中偶遇一个有趣的题目，感慨多多，备忘之。抽象出来，大致是：

桌上一共有100个饺子，其中有10个饺子包了硬币，问：连续吃到硬币的期望次数是多少次？

首先，定义一下这里的连续，如果我们将吃饺子的顺序抽象为一个100位的二进制数。并且吃到饺子表示为1，没吃到则为0，那么：

• 如果一次和第二次吃到，那么可表示为： 110.....，那么这里的连续吃到的次数为1.
• 如果数字为： ...1111.... ,那么这里连续的4个1表示3次连续，也就是说只要连续，就算1次。

  期望次数，也就是说我们需要算出0个连续，1个连续，....9个连续。这10个计数。

注：这里的连续其实就是取决于当前位置的前一个位置的状态即可。因此可以用DP来解决。

此题目是一个数数的问题，显然可以使用DP来进行求解。

global[i][j][k] : 表示前i个饺子中，已经吃到了j个硬币，并且连续的次数为k。

local[i][j][k] : 表示前i个饺子中，吃到了j个硬币，并且第k次连续发生在第i个位置上。（也就是说第i-1次吃到的也是饺子）。并且连续的次数为k。

• local[i][j][k] = local[i-1][j-1][k-1] + global[i-3][j-2][k-1]

• global[i][j][k] = local[i][j][k] + global[i-2][j][k] + global[i-2][j-1][k] + local[i-3][j-2][k-1] + global[i-3][j-1][k]

显然上式以最后一次是否连续作为子问题是不明智的，递推关系式太过复杂。

下面从另一个角度来分析：

以最后两位的状态来决定：

• 11 : 那就是连续一次，
• 10 , 01, 00 , 都没有连续，子问题直接递推即可。

  因此，定义如下子问题：

  f[i][j][k][0/1] : 表示前i个饺子中，吃到了j个硬币，并且有k个连续。且最后一个是0/1的次数。

  那么我们要求的就是： f[100][10][k][0] + f[100][10][k][1]; k = {1,2,3,...,9}

  注意：这里的最后一维其实就是一个0/1的记录，当然你也可以使用两个三维数组来表示。

  Python代码实现如下：

def compute(m,n,f,g):
    if n > m: return -1
    for i in range(m+1):
        f[i][0][0] = 1
    for j in range(n+1):
        f[0][j][0] = 0
        g[0][j][0] = 0
    f[0][0][0] = 1
    g[0][0][0] = 1
 
    for i in range(1,m+1):
        for j in range(1,min(i,n)+1):
            for k in range(0,j):
                f[i][j][k] = f[i-1][j][k] + g[i-1][j][k]
                if k != 0: g[i][j][k] = f[i-1][j-1][k] + g[i-1][j-1][k-1]
                else: g[i][j][k] = f[i-1][j-1][k]
 
    cnt = [0 for i in range(n)]
    for k in range(0,n):
        cnt[k] = f[100][10][k] + g[100][10][k]
    print cnt[1:]
 
    allSum = 1.0
    for i in range(91,101):  allSum = allSum * i
    for i in range(1,11): allSum /= i
    print "allSum = ", allSum
 
    print [float(x)/allSum for x in cnt]
    allSum2 = 0
    for i in range(1,n): allSum2 += (i * cnt[i])
    print allSum2/float(allSum)
 
if __name__ == "__main__":
    m = 100
    n = 10
    k = n-1
    f = [[[0 for k in range(k+1)] for j in range(n+1)] for i in range(m+1)]
    g = [[[0 for k in range(k+1)] for j in range(n+1)] for i in range(m+1)]
    compute(m,n,f,g)

结果为： 0.9

由于这个函数在目前的项目中可能会出现多次调用的情况。那么计算次数要尽量低。另一方面，这个内存占用非常大，在项目中n和m的取值大概是10^5。

如何快速有效的实现。

目前的方案是：由于这是一个三位的数组，那么每一维其实是一个平面，那么我隔固定的区间保存这样的一个平面，比如说，保存f[i][j][100], f[i][j][200], ...,这样下去，在计算时，选取最接近的平面，向下推。（因为每一个平面的计算只依赖于上一个平面）。

上述讲法可能有点儿晦涩，类比一个简单的例子，就清晰了：

比如，我们现在要编写一个求解斐波拉契数的函数，这个函数调用次数非常的频繁，那么我们回想到使用备忘录，但是呢，我们现在的内存十分有限，不可能将前面计算过的值全部保存下来。那么我们保存哪些值呢，很简单，因为每一个数之依赖于它的前两个数，因此，我们隔一段区间保存两个数。比如，我们保存 f[1000], f[1001], f[2000], f[2001],f[3000],f[3001]，....我们计算f[3076]的时候，直接从f[3000],f[3001]开始算起即可，不需要再从0开始，这样既降低了空间的消耗的同时尽可能地减少时间的消耗。

其实这就是一个一维的情况，每次保存的是两个数。上面的三维矩阵，每次保存的是一个二维的数组。

Final words:

• 这里调BUG时，对Python这种动态语言又进了一步，下面的代码正确吗？自己试试吧：

    tmp = [0 for i in range(k+1)]
    tmp2 = [tmp[:] for i in range(n+1)]
    f = [tmp2[:] for i in range(m+1)]
    g = [tmp2[:] for i in range(m+1)]

  这样定义f和g两个数组对吗？
• DP的子问题定义是technique。子问题定义的好坏直接影响递推式的复杂程度。

项目中的有趣题目 -- 吃饺子问题