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SHUOJ1857 Yaoge鸡排系列之九——好多鸡排！！！【矩阵快速幂】
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1857: Yaoge鸡排系列之九——好多鸡排！！！
Time Limit: 3 Sec Memory Limit: 64 MBSubmit: 98 Solved: 6
Description
Yaoge买了n块鸡排，其中第n块鸡排的质量为M(n)，同时其质量M(n)满足M(n)=f(n)2
已知f(n)=x*f(n-1)+y*f(n-2)。其中，f(0)=1,f(1)=1。
Yaoge希望你能帮他算出这些鸡排的总质量对10007取模后的结果。
Input
第一行输入一个T，表示有T组测试数据(T<=10000)，
接下来T行每行输入3个数，n，x，y，(2<=n,x,y<=100000000);
Output
输出鸡排的总质量对10007取模后的结果
Sample Input
Sample Output
HINT
第一组样例，f(1)=1,f(2)=2,M(1)=1,M(2)=4,总和等于5
第二组，f(1)=1,f(2)=5,f(3)=13,M(1)=1,M(2)=25,M(3)=169,总和等于195
Source
xyiyy
说简单点就是要求S(n)=∑f(n)2，其中f(n)=x*f(n-1)+y*f(n-2)，且f(0)=1,f(1)=1。
首先，我们看到有f(n)=x*f(n-1)+y*f(n-2)这个式子，我想大家的第一反应一定是觉得很像斐波那契数列数列。没错，所以，再解这道题目之前，我们先来讲讲斐波那契数列的解法。
一、斐波那契数列的解法
斐波那契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……
在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F(0)=0，F(1)=1，Fn=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*）
二逼青年做法：显然可以逐项计算F(n)，可以在O(n)的时间内得出答案，不过这种算法的效率太低了，一旦n是一个比较大的数必定超时无疑。
文艺青年做法：接着，数学系的同学可能第一反应就是求通项公式以期在O(1)的时间就可以得出答案。不错，斐波那契数列的通项公式是可以求的，前人已经求出来了：
但是在这个式子中有无理数出现，在计算机中使用浮点数是无法精确存储的，更加无法获得模某个数以后的结果，况且像斐波那契数列正好可以求到通项公式，别的就比如本题只能望洋兴叹了。
高端大气上档次狂拽酷炫吊炸天的计算机系有为青年做法（pia~拍飞）：好了，言归正传，我们来看看真正在ACM程序设计竞赛中的做法。
矩阵是一个好东西，有时候我们可以利用矩阵来简化计算。我们可以把斐波那契数列的递推式变成矩阵形式，即构造一个矩阵：
记这个矩阵为A，则有：
所以，我们只要求出An就可以得到Fn了，如何快速求解An，那就要用到矩阵快速幂了，可以在O(logn)时间内求解，再次不细讲，大家可以看最终的代码实现。
二、类似斐波那契数列的求法
回到本题中，观察到有f(n)=x*f(n-1)+y*f(n-2)这样一个式子，我们想利用矩阵快速幂简化运算。不过在本题中我们遇到这样一个问题，尽管有了斐波那契数列的基础f(n)是很好求，但是要求∑f(n)就不行了，因为矩阵快速幂运算是“跳”着来的，跟别谈求∑f(n)2了。这时候，我们就要拓展一下思路了。
进一步推导递推式：S(n) = ∑f(n)2 = S(n-1)+f(n)2 = S(n-1)+x2f(n-1)2+y2f(n-2)2+2xyf(n-1)f(n-2)
其他都好办，就是有一项2xyf(n-1)f(n-2)比较讨厌，那么我们就继续进一步，再写一项：f(n)*f(n-1) = (x*f(n-1)+y*f(n-2))*f(n-1) = x*f(n-1)2+y*f(n-1)*f(n-2)，这样就方便构造矩阵递推了。
我们构造矩阵递推式：
这样我们就能用上矩阵快速幂了，最后只要将An-1的第一行加起来就行了
#include <iostream>#include <ios>#include <iomanip>#include <functional>#include <algorithm>#include <vector>#include <sstream>#include <list>#include <queue>#include <deque>#include <stack>#include <string>#include <set>#include <map>#include <cstdio>#include <cstdlib>#include <cctype>#include <cmath>#include <cstring>#include <climits>using namespace std;#define XINF INT_MAX#define INF 1<<30#define MAXN 0x7fffffff#define eps 1e-8#define zero(a) fabs(a)<eps#define sqr(a) ((a)*(a))#define MP(X,Y) make_pair(X,Y)#define PB(X) push_back(X)#define PF(X) push_front(X)#define REP(X,N) for(int X=0;X<N;X++)#define REP2(X,L,R) for(int X=L;X<=R;X++)#define DEP(X,R,L) for(int X=R;X>=L;X--)#define CLR(A,X) memset(A,X,sizeof(A))#define IT iterator#define PI acos(-1.0)#define test puts("OK");#define _ ios_base::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);typedef long long ll;typedef pair<int,int> PII;typedef priority_queue<int,vector<int>,greater<int> > PQI;typedef vector<PII> VII;typedef vector<int> VI;#define X first#define Y second #define MOD 10007 typedef struct{ int data[4][4];} M; M I={1,0,0,0, //单位矩阵 0,1,0,0, 0,0,1,0, 0,0,0,1}; M matrixmul(M a,M b){ M res=I; REP(i,4) { REP(j,4) { int temp=0; REP(k,4) temp=(temp+(a.data[i][k]*b.data[k][j])%MOD)%MOD; res.data[i][j]=temp; } } return res;} int pow_mod(M a,int n) //快速幂 { M res=I; while(n>0) { if(n&1) res=matrixmul(res,a); a=matrixmul(a,a); n>>=1; } int ans=0; REP(j,4) ans=(ans+res.data[0][j])%MOD; //将最终解结果的第一行相加 return ans;} int main(){_ int T; scanf("%d",&T); while(T--) { int n,x,y; scanf("%d%d%d",&n,&x,&y); x=x%MOD;y=y%MOD; M a={1,(x*x)%MOD,(y*y)%MOD,(2*x*y)%MOD, 0,(x*x)%MOD,(y*y)%MOD,(2*x*y)%MOD, 0,1,0,0, 0,x,0,y}; printf("%d\n",pow_mod(a,n-1)); } return 0;}
三、推广（《挑战程序设计竞赛 第二版》P201）
一般地，对于m项递推式，如果记递推式为
则可以把递推式写成如下矩阵形式
通过计算这个矩阵的n次幂，就可以在O(m3logn)的时间内计算出第n项的值。不过，如果递推式里面含有常数项则稍微复杂一些，需变成如下形式：
后记：这是我的同学xyiyy出的题目，作为上海大学第六届研究生算法设计与应用竞赛的一道数学题出现。（yao哥在上大ACM队中扮演经常被黑的角色，由于yao哥酷爱吃鸡排（嘘，其实他就是个胖子），所以xyiyy和ghbgh总是抓到机会就黑yao哥，以至于上大Oj当中出现了一个靓丽的风景线：yao哥鸡排系列）
友情链接Yao哥的博客：http://www.cnblogs.com/baobaopangzi88/（你看他自己都叫自己是宝宝胖子）
by--Kirisame_Marisa 2014-12-27 00:25:05
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