监督学习：分类和回归

非监督学习：聚类和非聚类

1.分类和聚类的区别：

分类(Categorization or Classification)就是按照某种标准给对象贴标签(label)，再根据标签来区分归类。

聚类是指事先没有“标签”而通过某种成团分析找出事物之间存在聚集性原因的过程。

2.回归和分类的区别：

当我们试图预测的目标变量是连续的时，例如在我们的住房例子中，我们把学习问题称为回归问题。当y只能取一小部分离散值时(例如，考虑到居住区域，我们想预测一个住宅是房子还是公寓)，我们称之为分类问题。

单个特征：

成本函数：

的添加是为了以后便于计算

梯度下降法：

学习速率ɑ选择不能太大也不能太小。

拿线性回归拟合为例，则梯度下降过程如下：

多个特征

hypothesis function（假设函数）

：可理解为第i个样本的第0个属性值为1，这样设置是为了便于θ’和X的矩阵运算

（试着将θ理解为平衡各个特征的权重）

（统计学习方法.李航中上标下标表示的意思与这里相反）

梯度下降法：

Feature Scaling（特征缩放）：

它可以使得梯度下降的速度加快从而优化梯度下降法

μi表示所有样本的第i个属性（特征）的平均值

Si表示所有样本第i个属性（特征）中（最大值－最小值），或者叫standard deviation（标准差）

 Polynomial Regression（多项式回归）

当数据用线性拟合不太好时可以考虑用多项式回归，例如二次三次多项式甚至平方根

正规方程法

Normal Equations 的由来

假设我们有m个样本。特征向量的维度为n。因此，可知样本为{(x(1),y(1)), (x(2),y(2)),... ..., (x(m),y(m))},其中对于每一个样本中的x(i),都有x(i)={x1(i), xn(i),... ...,xn(i)}。令 H(θ)=θ0 + θ1x1 +θ2x2+... + θnxn，则有

若希望H(θ)=Y，则有

X · θ = Y

我们先来回忆一下两个概念：单位矩阵 和 矩阵的逆，看看它们有什么性质。

（1）单位矩阵E

AE=EA=A

（2）矩阵的逆A-1

要求：A必须为方阵

性质：AA-1=A-1A=E

再来看看式子 X · θ = Y

若想求出θ，那么我们需要做一些转换：

step1：先把θ左边的矩阵变成一个方阵。通过乘以XT可以实现，则有

XTX · θ = XTY

step2：把θ左边的部分变成一个单位矩阵，这样就可以让它消失于无形了……

(XTX)-1(XTX) · θ = (XTX)-1XTY

step3：由于(XTX)-1(XTX) = E，因此式子变为

Eθ = (XTX)-1XTY

E可以去掉，因此得到

θ = (XTX)-1XTY

这就是我们所说的Normal Equation了。

Normal Equation VS Gradient Descent

Normal Equation 跟 Gradient Descent（梯度下降）一样，可以用来求权重向量θ。但它与Gradient Descent相比，既有优势也有劣势。

优势：

Normal Equation可以不在意x特征的scale。比如，有特征向量X={x1, x2}, 其中x1的range为1~2000，而x2的range为1~4，可以看到它们的范围相差了500倍。如果使用Gradient Descent方法的话，会导致椭圆变得很窄很长，而出现梯度下降困难，甚至无法下降梯度（因为导数乘上步长后可能会冲出椭圆的外面）。但是，如果用Normal Equation方法的话，就不用担心这个问题了。因为它是纯粹的矩阵算法。

劣势：

相比于Gradient Descent，Normal Equation需要大量的矩阵运算，特别是求矩阵的逆。在矩阵很大的情况下，会大大增加计算复杂性以及对计算机内存容量的要求。

什么情况下会出现Normal Equation不可逆，该如何应对？

（1）当特征向量的维度过多时（如，m <= n 时）

 解决方法：① 使用regularization方式

　　　　　or ②delete一些特征维度

（2）有redundant features（也称为linearly dependent feature）

例如，　x1= size in feet2

　　　　x2 = size in m2

　　　　feet和m的换算为 1m≈3.28feet所以，x1 ≈ 3.282 * x2, 因此x1和x2是线性相关的（也可以说x1和x2之间有一个是冗余的）

解决方法：找出冗余的特征维度，删除之。

梯度下降法和正规方程法的优劣比较：

Machine Learning——DAY1