刚看这部分，感觉还是挺晦涩的，所以想写一下来好好梳理一下.

首先对于幂函数$w=z^{\mu}$,很自然的我们定义$$w=e^{{\rm Log}z^{\mu}}=|z|^{\mu}e^{i\mu{\rm Arg}z}$$

显然这是一个多值函数,是由${\rm Arg}$的多值性引起的.分以下几种情况来考虑上式.

1.如果$\mu\in\mathbb N^+$,设为$n$,那么$$w=z^n=|z|^ne^{in{\rm arg}z}$$

由${\rm arg}z$和指数函数的单值性可知$z^n$在$\mathbb C\setminus\{0\}$上单值,而且映射$w=z^n$将$z$平面内从原点出发的一条射线${\rm arg}z=\theta$映成了$w$平面内从原点出发的射线${\rm arg}w=n\theta$.

再来考虑其单叶性区域,设$z_{1}^n=z_{2}^n$,可得$$r_{1}=r_{2},\theta_{2}=\theta_{1}+\frac{2k\pi}{n},k\in\mathbb Z$$

因此$w=z^n$的一个单叶性区域可以为$$D=\{z\in\mathbb C\setminus\{0\}:\alpha<{\rm arg}z<\beta\},0<\beta-\alpha\leq\frac{2\pi}{n}$$

而且$w=z^n$将$D$单叶的映成$$G=\{w\in\mathbb C\setminus\{0\}:n\alpha<{\rm arg}w<n\beta\}$$

2.如果$\mu=\frac{1}{n},n\in\mathbb N^+$,那么$$w=\sqrt[n]{|z|}e^{i\frac{{\rm Arg}z}{n}}$$

显然是一个多值函数，且有$n$个值.而多值性是由${\rm Arg}z$引起的,所以$z=0,\infty$是他的支点,因而在$\mathbb C\setminus\mathbb [0,+\infty)$上可以选出$n$个单值的全纯分支$$w=\varphi_{k}(z)=\sqrt[n]{|z|}e^{i\frac{{\rm arg}z+2k\pi}{n}},k=0,1,\cdots,n-1$$

其中我们限定${\rm arg}z\in(0,2\pi)$.考虑其主支$$w=\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{|z|}e^{i\frac{{\rm arg}z}{n}}$$

显然他将原点出发的射线${\rm arg}z=\theta$映成$w$平面内从原点出发的射线$${\rm arg}w=\frac{\theta}{n}$$

再来考察主支$2=\sqrt[n]{z}$的单叶性区域,如果$\sqrt[n]{z_{1}}=\sqrt[n]{z_{2}}$,可得$$r_{1}=r_{2},\theta_{2}=\theta_{1}+2nk\pi,k\in \mathbb Z$$

因此其将$\mathbb C\setminus[0,+\infty)$单叶的映成角状域$$\{w\in\mathbb C\setminus\{0\}:0<{\rm arg}w<\frac{2\pi}{n}\}$$

3.一般的如果$\mu=a+bi$,那么$$w=z^{a+bi}=e^{a\log|z|-b{\rm Arg}z}e^{i\left(a{\rm Arg}z+b\log|z|\right)},k\in\mathbb Z$$

1)显然如果$b=0,a=n$,则$w=z^n$为单值函数；

2)如果$b=0,a=\frac{q}{p}\in\mathbb Q$,则$w=z^{\frac{q}{p}}$为一$p$值函数;

3)如果$b=0,a\in\mathbb R\setminus\mathbb Q$,则$w=z^a$为一无穷多值函数;

4)如果$b\neq0$,则$w=z^{\mu}$为一无穷多值函数.

2),3),4)的多值性均是由${\rm Log}z$的多值性引起的,因而在${\rm Log}z$可以分出单值全纯分支的区域内,$w=z^{\mu}$也可以,且$$w_{k}(z)=e^{\mu\varphi_{k}(z)}$$

 其中$w_{k},\varphi_{k}$分别为幂函数和对数函数的第$k$个单值全纯分支.我们知道$$\varphi_{k}(z)=\log|z|+i({\rm arg}z+2k\pi)$$

易求得$$\varphi‘_{k}(z)=\frac{1}{z}$$

从而\begin{align*}w‘_{k}(z)=\mu e^{\mu\varphi_{k}(z)}\frac{1}{z}=\frac{\mu}{z}z^{\mu}\end{align*}

幂函数