束老师高中数学辅导内容展示

对于高考数学而言，解决了以下三个问题，得高分将易如反掌。一是对于基本概念（包括定理、定义、性质、公式等，以下简称为“基本概念”）的深刻理解和掌握。二是拿到一道题之后应该如何思考，从而用上我们的基本概念去解决问题。三是一些考试技巧的运用。

束老师就是帮助学生解决这三个问题！

1. 在基本概念的教学中，主要通过“条件与结论”“自然语言、符号语言、图形语言的相互转换”“具体化”“正用、逆用、变形用”“联系其他，形成系统”等五个方面，让学生深刻理解基本概念的内涵和外延。

2. 在解题的教学中，讲清楚每一步骤所根据的基本概念是什么，加深学生对于基本概念的理解；更为重要的是，讲清楚是如何想到要用这些基本概念，而不去用其他的基本概念，是题目上的哪些个关键字眼使你想到要用这些基本概念，利用我所总结的解题规律，使学生解题思维程序化，以后就这样去想，只要不是偏题、怪题，肯定能够解答出来。

3. 注重应试技巧的培训，在教学的过程中，让学生每道题都按高考要求首先快速准确的得出答案，然后再分析其他，让“抢分”进入他的潜意识。

下面我将以高考题为例，来说明“只要按照我的教学去做，数学高考就没有什么问题”！

平面向量（摘录）

（11上海理11）在正三角形\(ABC\)中，\(D\)是\(BC\)上的点，\(AB = 3,BD = 1,\)则\(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AD}  = \)        

这是2011年上海的一道平面向量的试题，我用了5种方法解决了这个问题，并且给学生总结了对于解决平面向量问题的应该从哪几个不同的角度去思考，首先试最有可能的解法，如果解不出来，赶紧换个角度去想，切不可一棵树上吊死。

2012年

（12江苏9）如图，在矩形\(ABCD\)中，\(AB = \sqrt 2 ,BC = 2,\)点\(E\)为\(BC\)的中点，点\(F\)在边\(CD\)上，若\(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AF}  = \sqrt 2 \)，则\(\overrightarrow {AE}  \cdot \overrightarrow {BF} \)的值是    ．

（12湖南文15）如图，在平行四边形\(ABCD\)中 ，\(AP \bot BD\)，垂足为\(P\)，\(AP = 3\)，则\(\overrightarrow {AP}  \cdot \overrightarrow {AC}  = \)     .

（12北京理文13）已知正方形\(ABCD\)的边长为l，点\(E\)是\(AB\)边上的动点.则\(\overrightarrow {DE}  \cdot \overrightarrow {CB} \)的值为      ，\(\overrightarrow {DE}  \cdot \overrightarrow {DC} \)的最大值为     

这3道试题中每一道至少可以用我讲过的这道“11年上海”的试题中的一种方法去解，但不是每一种都适合。

这说明了什么？

这说明，一方面，你只要把我所讲的方法掌握了，高考题基本就没有问题了；另一方面，如果老师讲解一道题，并没有真正的讲到位，或者只是就题论题，没有思想方法的总结，后面即使出现一样的问题，学生还是照样不会做.譬如就11年的这道上海的题为例，如果仅仅只是考虑到一二种方法，那么12年的高考虽然是同样的问题，还是有可能不会做。

直到今年（2016年），每年高考依然有多个省市的试题重复这样的思路。

立体几何（摘录）

（10安徽文改编）如图，在多面体\(ABCDEF\)中，四边形\(ABCD\)是正方形，平面\(CDEF \cap \)平面\(BAEF = EF\)，\(AB = 2EF = 2\)，\(EF \bot FB\)，\(\angle BFC = 90^\circ \)，\(BF = FC\)，\(H\)为\(BC\)的中点.

（Ⅰ）求证：\(EF//\)平面\(ABCD\)    （Ⅱ）求证：\(FH//\)平面\(EDB\).

（10安徽文原题）如图，在多面体\(ABCDEF\)中，四边形\(ABCD\)是正方形，\(AB = 2EF = 2\)，\(EF//AB\)，\(EF \bot FB\)，\(\angle BFC = 90^\circ \)，\(BF = FC\)，\(H\)为\(BC\)的中点.

（Ⅰ） 求证：\(FH//\)平面\(EDB\)；（Ⅱ） 求证：\(AC \bot \)平面\(EDB\)；（Ⅲ） 求四面体的体积.

改编题与原题相比，题设中加了平面\(CDEF \cap \)平面\(BAEF = EF\)，去掉了\(EF//AB\)，还去掉了一些其他不必要的条件，加了第一问(1)求证：\(EF//\)平面\(ABCD\)；去掉了原题中的第二、三问(Ⅱ) 求证：\(AC \bot \)平面\(EDB\)；(Ⅲ) 求四面体\(B - DEF\)的体积.

为什么这样处理？由于本节是集中讲“平行关系的证明”，所以把有关垂直和体积的问题删掉了，免得冲淡了主题。

第一问是我另加的，不难，但不太常考，很多学生想不到，2002年北京第一年自己出题，就出了这种考法，结果这一问得分率是非常之低。2014年北京又考了，弄得好多平时能考140多分的学生都做不出来，甚至由于这样位置的题目每次都能轻松拿下，但这次花费了很多的时间，还是解决不了，引起慌乱，从而影响了整次考试。

第二问我提供了四种解法。

可以这么说，通过这一道题的讲解，基本上穷尽了所有“平行证明”问题的知识点和思考方法，每一种方法我都会很明确的告诉学生，第一步做什么，第二步做什么，程序化，以后就这么去想，这么去做，这一类问题可以说是手到擒来。后面我再通过一些反问题进行加深。

用第二问方法的就不再举其他高考题的例子了，因为太多了，基本上都是这样， 用上我所讲的一种方法即可。

（14北京理17）如图，正方形\(AMDE\)的边长为\(2\)，\(B,C\)分别为\(AM,MD\)的中点，在五棱锥\(P - ABCDE\)中，\(F\)为棱\(PE\)的中点，平面\(ABF\)与棱\(PD,PC\)分别交于点\(G,H\).

 （1）求证：\(AB//FG\)；

 （2）若\(PA \bot \)底面\(ABCDE\)，且\(AF \bot PE\)，求直线\(BC\)与平面\(ABF\)所成角的大小，并求线段\(PH\)的长.

上题第一问就是不常考的很多学生想不到的那个问题。

用上我所讲问题的第一问的方法，轻松解决，只不过我所讲的问题需要三步，而北京高考的这道题只需两步而已。

线性规划（摘录）

设不等式组\(\left\{ \begin{array}{l}x + y \ge 3\\x - y \ge  - 1\\2x - y \le 3\end{array} \right.\)表示的平面区域为\(D\).

（1）求目标函数\(z = 2x + 3y\)的最值.     （2）求目标函数\(z = 3x + 2y\)的最值.

（3）求目标函数\(z = 2x - 3y\)的最值.     （4）求目标函数\(z = 2y - 3x\)的最值.

（5）求目标函数\(z = 3x - y\)的最值.

（6）求直线\(3x - y - 1 = 0\)与区域\(D\)的公共点的个数.

（7）平面区域\(E\)与\(D\)关于直线\(3x - 2y - 12 = 0\)对称，对于\(D\)中任意点\(M\)与\(E\)中的任意点\(N\)，求\(\left| {MN} \right|\)的最小值.

（8）求目标函数\(z = {x^2} + {y^2}\)的最值.     

（9）求目标函数\(z = {x^2} + {y^2} - 6x - 4y + 10\)的最值.

（10）求目标函数\(z = {x^2} + 6x + {y^2} + 2y + 5\)的最值.   

（11）求\(z = \frac{y}{x}\)的取值范围.             （12）求\(z = \frac{{y + 1}}{{x - 5}}\)的取值范围.

（13）求\(z = \frac{{2y - 5}}{{x + 2}}\)的取值范围.         （14）求\(z = \frac{{y - 4}}{{2x - 3}}\)的取值范围.

（15）目标函数\(z = ax + y\)取最小值时的最优解有无穷多个，求\(a\).

（16）目标函数\(z = ax + y\)取最小值时的最优解仅为 ，求\(a\)的取值范围.

（17）目标函数\(z = ax + y\)的最小值为\( - 2\)，求\(a\).

（18）若\(a \ge 0,b \ge 0\)，恒有\(ax + by \le 1\)，求以\(a,b\)为坐标的点\(P(a,b)\)所形成的平面区域的面积.

（19）若恒有\(ax + by \le 1\)，求\(\frac{{b - 1}}{{a - 1}}\)和\({a^2} + {b^2} - 4a + 2b\)的取值范围.

（20）直线\(y = kx - k + 2\)把区域\(D\)平分为面积相等的两部分，求\(k\).

（21）若指数函数\(y = {a^x}\)的图象上存在区域\(D\)上的点，求\(a\)的取值范围.

（22）若对数函数\(y = {\log _a}x\)的图象上存在区域\(D\)上的点，求\(a\)的取值范围.

一个题设，22小问，很显然这是我自编的题目，可以说在其他地方基本上找不到这样的题目。一题基本穷尽了这类题的考点。

（1）求目标函数\(z = 2x + 3y\)的最值.     （2）求目标函数\(z = 3x + 2y\)的最值.

（3）求目标函数\(z = 2x - 3y\)的最值.     （4）求目标函数\(z = 2y - 3x\)的最值.

（5）求目标函数\(z = 3x - y\)的最值.

最常见的考法，基本每年都有一些省市的试题这样的考，也非常的容易，但也有易出错的点，我教学中会重点的提醒。由于非常的常见，在这里就不再举高考试题的例子了。

（16江苏12）已知实数\(x,y\)满足\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + 4 \ge 0\\2x + y - 2 \ge 0\\3x - y - 3 \le 0\end{array} \right.\) ，则\({x^2} + {y^2}\)的取值范围是_     _.

（16山东理文4）若变量\(x,y\)满足\(\left\{ \begin{array}{l}x + y \le 2,\\2x - 3y \le 9,\\x \ge 0,\end{array} \right.\)则\({x^2} + {y^2}\)的最大值是（   ）

（A）4        （B）9        （C）10      （D）12\(\)

考的是

（7）求目标函数\(z = {x^2} + {y^2}\)的最值.      （8）求目标函数\(z = {x^2} + {y^2} - 6x - 4y + 10\)的最值.

（9）求目标函数\(z = {x^2} + 6x + {y^2} + 2y + 5\)的最值.

这类问题。

（10）求\(z = \frac{y}{x}\)的取值范围.

（11）求\(z = \frac{{y + 1}}{{x - 5}}\)的取值范围.  （12）求\(z = \frac{{2y - 5}}{{x + 2}}\)的取值范围.  （13）求\(z = \frac{{2y - 7}}{{x - 2}}\)的取值范围.

这类问题还没怎么考过，要注意。

当然这样的问题还可以结合圆，甚至圆锥曲线去考，我也有相应的试题。如：

已知实数\(x,y\)满足\({x^2} + {y^2} - 4x + 1 \le 0\).（1）则\(\frac{y}{{x + 1}}\)的取值范围为____________（2）则\({x^2} + {y^2} + 2y - 3\)的取值范围为____________（3）则\(y - x\)的取值范围为____________（4）则\(|y - x|\)的取值范围为____________

我还有这样的试题(题设中含参)：

不等式组\(\left\{ \begin{array}{l}x + y - 1 \ge 0\\x - 2 \le 0\\ax - y + 1 \ge 0\end{array} \right.\)表示的平面区域为\(D\).

（1）若\(D\)的面积为2，求\(a\)的值.  （2）若\(D\)内恰有10个整点，求\(a\)的取值范围.

（3）若函数\(y = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{x - 3}}\)的图象上存在区域\(D\)上的点，求\(a\)的取值范围.

（4）若目标函数\(z = 3x + y\)的最大值为9，求\(a\)的值.

（5）若目标函数\(z = (a + 2)x + y\)的最大值小于11，求\(a\)的取值范围.

2014年的北京高考就考了(4)，可以看出是一模一样。

（14北京理6）若\(x,y\)满足\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y - 2 \ge 0}\\{kx - y + 2 \ge 0}\\{y \ge 0}\end{array}} \right.\)且\(z = y - x\)的最小值为\( - 4\)，则\(k\)的值为（    ）

\(A.2\)        \(B. - 2\)        \(C.\frac{1}{2}\)        \(D. - \frac{1}{2}\)

导数（摘录）

导数，圆锥曲线是难点，每年各自必考一道大题，这两道题是拉分的题，是能不能得高分的关键所在。

那么如何解决这两道题呢？

我们说，你只要按照我所总结的规律去做，第一步干什么，第二步干什么，完全可以不用动脑子，就是个体力活，三下五除二就做出来了。

例如拿导数来说，切线问题：我总结了四点，你照着这四点去做，肯定解决问题。这个东西一般的老师是不会总结的，因为导数中有关切线的问题很多时候都比较容易，你不总结凭着感觉去做一般也能做的出来，但是如果要是碰到2014年北京高考文科第20题（最后一道压轴题）那样的题，恐怕有一些同学就会抓瞎。但是如果你用上我的方法，肯定不会出问题，即使你一时挡住了，没有关系，你把我所讲的四点重新捋一遍，看哪一点没用上，用上即可。

（14北京文20）已知函数\(f(x) = 2{x^3} - 3x\).

（1）求\(f(x)\)在区间\(( - 2,1)\)上的最大值；

（2）若过点\(P(1,t)\)存在3条直线与曲线\(y = f(x)\)相切，求t的取值范围；

（3）问过点\(A( - 1,2),B(2,10),C(0,2)\)分别存在几条直线与曲线\(y = f(x)\)相切？（只需写出结论）

对比一下我所讲试题：

设函数\(f(x) = \frac{1}{3}{x^3} - \frac{a}{2}{x^2} + bx + c\)，其中\(a > 0\)，曲线\(y = f(x)\)在点\(P(0,f(0))\)处的切线方程为\(y = 1\).

（Ⅰ）确定\(b,c\)的值.    （Ⅱ）设曲线\(y = f(x)\)在点\(({x_1},f({x_1}))\)及\(({x_2},f({x_2}))\)处的切线都过点\((0,2)\)，证明：当\({x_1} \ne {x_2}\)时，\(f‘({x_1}) \ne f‘({x_2})\).

（Ⅲ）若过点\((0,2)\)可作曲线\(y = f(x)\)的三条不同切线，求\(a\)的取值范围.

14年北京高考试题的第一问是送分题，没什么可说的，第二、三问就是所讲试题的第三问！通过我所总结的有关切线问题的四点就能很轻松的解决！

当然，导数还有讨论单调性的问题(但不一定直接说讨论单调性)，而讨论单调性的难点就在于含参(不含参的就太容易了，这里就不说了，有一些问题虽然含参，但是我会教学生通过分离变量的方法变为不含参的)，那么如何讨论？非常简单，我总结了三步。

你就照着这三步，一个一个对，凡是涉及含参讨论单调性的问题，不会出现意外，轻轻松松解决，根本不需要动脑子，并且想出错都难.

这个东西是我独家的，其他老师都不会这么说，当然不是说其他老师都不知道怎么做这类问题，但是没有我这么明确化，程序化，对于老师来说，可能都会做(有一些老师在这里也容易出错)。但你不明确化，程序化，让学生去操作，出错率可就大大的提高了！

在高考中，不太可能把这三个点都考到，一般会考两个点，但你不知道他会考哪两个点，所以三个点都必须掌握，有的同学做这类题，有时候做对了，有时候又做错了，他把这都归结成马虎，熟不知根本就不是马虎的问题，因为这次考的是这两个点，而下一次是另外的两个点，表面上好象题目是一样的，其实并不是这样的。

例如

（10山东理）已知函数\(f(x) = \ln x - ax + \frac{{1 - a}}{x} - 1{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} (a \in R)\).

（Ⅰ）当\(a \le \frac{1}{2}\)时，讨论\(f(x)\)的单调性；

（Ⅱ）设\(g(x) = {x^2} - 2bx + 4\)当\(a = \frac{1}{4}\)时，若对任意 ，存在 ，使\(f({x_1}) \ge g({x_2})\)，求实数\(b\)取值范围.

我在用的时候，就会把“当\(a \le \frac{1}{2}\)时”这个条件去掉，因为加上就只考了两个点，去掉就是三个点。

圆锥曲线（摘录）

再来看圆锥曲线的例子：

（13北京理）已知 是椭圆 \(\frac{{{x^2}}}{4} + {y^2} = 1\)上的三个点， 是坐标原点.

（I）当点 是 的右顶点，且四边形 为菱形时，求此菱形的面积.

（II）当点 不是 的顶点时，判断四边形 是否可能为菱形，并说明理由.

第一问简单，在这里就不说了.第二问有一种特别通用的方法，大部分圆锥曲线的大题都能够用这种方法解决，当然每个老师都会讲这种方法，但是我的独特之处是：

第一、我明确的告诉学生这种方法是“三步走”，第一步干什么第二步干什么第三步干什么；

第二、这里其中有一步是把直线方程和曲线方程联立，那么遇到多条直线时，你把哪一条直线和曲线联立呢？我会教会学生如何去挑选，明确给出挑选的标准和原则，这一道题就是这种情况，要是挑错了是解不出来的，如果要降低难度，出题人就会把那一条直线明确的给你，如北京文科：

（13北京文）直线\(y = kx + m\)\((m \ne 0)\)与椭圆\(W:\frac{{{x^2}}}{4} + {y^2} = 1\)相交于\(A\)，\(C\)两点，\(O\)为坐标原点.

（Ⅰ）当点\(B\)的坐标为\((0,1)\)，且四边形\(OABC\)为菱形时，求\(AC\)的长；

（Ⅱ）当点\(B\)在\(W\)上且不是\(W\)的顶点时，证明：四边形\(OABC\)不可能为菱形.

这两道题还可以用另外两种方法去解决，我还会教给学生如何去区分应该先试哪种方法，怎样计算会简单，在哪一步一定会出现什么，否则就是算错了，应该回去检查。

这样就算完了吗？还没有呢？我还会把问题引向深入，引导学生如果把题目中的“菱形”换成“矩形”，又将怎样？

上面重点说的是最常考的方法，那么不常考的呢？

2014年高考北京就考了不常考的（文科理科全是这样），所用的方法除了上面那道题有所提及之外，我还另外讲了更典型的利用这种不常考方法解决问题的例题，并且我还强调了，如果只出现曲线上一个点，根本就没有曲线上其他点什么事，那么“那种常考的方法”肯定失效，则只能用“这种不常考的方法”去解决。

2014年的北京高考试题如下：

（14北京理）已知椭圆\(C:{x^2} + 2{y^2} = 4\)，

（1）求椭圆\(C\)的离心率.

（2）设\(O\)为原点，若点\(A\)在椭圆\(C\)上，点\(B\)在直线\(y = 2\)上，且\(OA \bot OB\)，求直线\(AB\)与圆\({x^2} + {y^2} = 2\)的位置关系，并证明你的结论.

（14北京文）已知椭圆\(C:{x^2} + 2{y^2} = 4\)，

（1）求椭圆\(C\)的离心率.

（2）设\(O\)为原点，若点\(A\)在椭圆\(C\)上，点\(B\)在直线\(y = 2\)上，且\(OA \bot OB\)，求线段\(AB\)长度的最小值.

我所讲的其中一道试题如下：

设椭圆\(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{1 - {a^2}}} = 1\)的焦点在\(x\)轴上

（Ⅰ）若椭圆\(E\)的焦距为1，求椭圆\(E\)的方程；

（Ⅱ）设 分别是椭圆的左、右焦点，\(P\)为椭圆\(E\)上第一象限内的点，直线\({F_2}P\)交\(y\)轴与点\(Q\)，并且\({F_1}P \bot {F_1}Q\)，证明：当\(a\)变化时，点\(P\)在某定直线上.

可以看到是多么的一致！

篇幅所限，无法把每年的高考试题都展现出来与我的教学试题进行对比，这里重点展现的是我的教学思路与高考数学试题的出题思路。

可以说，学生只要把我所讲的方法真正掌握了，按照我所讲的方法去做，就高考范围而言，应该说基本就没什么问题了。

教学细节介绍