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算法导论学习-heapsort
heap的定义：如果数组a[1,....n]满足：a[i]>a[2*i] && a[i]>a[2*i+1]，1<=i<=n/2，那么就是一个heap，而且是max-heap
heap有两种，max-heap 和 min-heap，其中min-heap的性质与上面所述相反，即 a[i]<a[2*i] && a[i]<a[2*i+1].
这里以max-heap为例说明heap的三种基本操作，即Max-Heap-Maintenance, Build-Max-Heap, HeapSort.
1. Max-Heap-Maintenance
input：数组A和下标indice（i） output：维护以 i 为根的子树的max-heap性质。
Max-Heap-Maintenance的伪代码如下：
以一个例图来解释上述程序的运行过程：
a) 图为heap的初始状态，现在执行程序Max-Heap-Maintenance（A，2）。node 2的值为4，比左孩子值14小，所以把A[2] 和 A[4]进行交换，这里虽然右孩子值为7，也比A[2]要大，但我们要找两个孩子中值最大的孩子，并且将父节点和它交换。交换完毕后，从被交换的孩子节点的位置出发，图中是A[4]，见图b），然后在该节点上重复上述操作，直至该节点是叶子节点，如图C），则终止程序。
2. Build-Max-Heap
因为每进行一次Max-Heap-Maintenance（i）操作，实际上都是建立以 i 为根节点的最大heap的一棵子树。所以我们自底向上建立最大heap，只有这样才能保证建立的heap具有max-heap性质。
3. Heap-Sort
首先先建立max-heap，但我们仍不能够根据max-heap得到排序结果，因为max-heap只能保证根节点值大于孩子节点的值，并没有孩子节点之间的大小关系比较。具体做法看伪代码+样例分析图。
最后贴上C++实现代码：
1 #include<iostream> 2 #include<algorithm> 3 using namespace std; 4 int a[101]; 5 int array_size,heap_size; 6 int left(int i){ 7 return 2*i; 8 } 9 int right(int i){10 return 2*i+1;11 } 12 void Max_Heap_Maintenance(int i){13 int l, r, largest=-1;14 l=left(i);15 r=right(i);16 if(l>heap_size||r>heap_size) return;17 if(l<=heap_size&&a[l]>a[i]){18 largest=l;19 }20 else largest=i;21 if(r<=heap_size&&a[r]>a[largest]){22 largest=r;23 }24 if(largest!=i){25 int tmp=a[largest];26 a[largest]=a[i];27 a[i]=tmp;28 Max_Heap_Maintenance(largest);29 } 30 }31 void Build_Max_Heap(){32 heap_size=array_size;33 for(int i=array_size/2;i>=1;i--){34 Max_Heap_Maintenance(i);35 }36 }37 void Heap_Sort(){38 Build_Max_Heap();39 for(int i=array_size;i>=2;i--){40 int tmp=a[i];41 a[i]=a[1];42 a[1]=tmp;43 heap_size--;44 Max_Heap_Maintenance(1);45 }46 int tmp=a[2];47 a[2]=a[1];48 a[1]=tmp;49 }50 int main(){51 while(scanf("%d",&array_size)!=EOF){52 for(int i=1;i<=array_size;i++){53 scanf("%d",&a[i]);54 }55 Heap_Sort();56 for(int i=1;i<=array_size;i++){57 printf("%d ",a[i]);58 }printf("\n");59 }60 return 0;61 }
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