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监督学习中关于线性回归问题的系统讨论
前言
本文将系统的介绍机器学习中监督学习的回归部分，系统的讲解如何利用回归理论知识来预测出一个分类的连续值。
显然，与监督学习中的分类部分相比，它有很鲜明的特点：输出为连续值，而不仅仅是标称类型的分类结果。
基本线性回归解决方案 - 最小二乘法
“给出一堆散点，求出其回归方程。" -> 对于这个问题，很多领域都碰到过，而其中最为经典普遍的做法通常是：
1. 用式子表示出各个散点到回归线之间的距离之和：
m 为散点数量，yi 为散点值，xi 为散点坐标，w 为回归系数向量。
2. 对上式以向量 w 求导，求出导数值为 0 时的回归系数 (具体求导过程涉及到对向量求导的相关法则，略)：
这种方法就叫做最小二乘法。
最小二乘法的具体实现
下面这个小程序从文本中读取散点，然后拟合出回归直线，并使用 matplotlib 展示出来 (注: 为了清楚直观，特征 0 没展示出来)：
1 #!/usr/bin/env python 2 # -*- coding:UTF-8 -*- 3 4 ‘‘‘ 5 Created on 2015-01-04 6 7 @author: fangmeng 8 ‘‘‘ 9 10 from numpy import *11 12 def loadDataSet(fileName):13 ‘载入测试数据‘14 15 numFeat = len(open(fileName).readline().split(‘\t‘)) - 116 dataMat = []; labelMat = []17 fr = open(fileName)18 for line in fr.readlines():19 lineArr =[]20 curLine = line.strip().split(‘\t‘)21 for i in range(numFeat):22 lineArr.append(float(curLine[i]))23 dataMat.append(lineArr)24 labelMat.append(float(curLine[-1]))25 return dataMat,labelMat26 27 #===================================28 # 输入:29 # xArr: 特征坐标矩阵30 # yArr: 特征值矩阵31 # 输出:32 # w: 回归系数向量33 #===================================34 def standRegres(xArr,yArr):35 ‘采用最小二乘法求拟合系数‘36 37 xMat = mat(xArr); 38 yMat = mat(yArr).T39 xTx = xMat.T*xMat40 if linalg.det(xTx) == 0.0:41 print "该矩阵无法求逆"42 return43 ws = xTx.I * (xMat.T*yMat)44 return ws45 46 def test():47 ‘展示结果‘48 49 # 采用最小二乘求出回归系数并预测出各特征点对应的特征值50 xArr, yArr = loadDataSet(‘/home/fangmeng/ex0.txt‘)51 ws = standRegres(xArr, yArr)52 xMat = mat(xArr)53 yMat = mat(yArr)54 yHat = xMat * ws55 56 import matplotlib.pyplot as plt57 58 # 绘制所有样本点59 fig = plt.figure()60 ax = fig.add_subplot(111)61 ax.scatter(xMat[:,1].flatten().A[0], yMat.T[:, 0].flatten().A[0])62 63 # 绘制回归线64 xCopy = xMat.copy()65 xCopy.sort(0)66 yHat = xCopy*ws67 ax.plot(xCopy[:, 1], yHat)68 plt.show()69 70 if __name__ == ‘__main__‘:71 test()
测试结果：
观察预测与真实的相关系数：
print corrcoef(yHat.T, yMat)测试结果：
0.98+的相关系数，可见拟合的效果还是不错的。
局部加权线性回归
基本的线性回归经常会碰到一些问题。
比如由于线性回归本身导致的欠拟合问题。以最基本的一个特征的情况为例，如果散点图本身呈现一个非线性化的轮廓，而强行的将它拟合成一条直线：
显然，两端的拟合是非常不科学的，偏离的很远。
针对这个问题，局部加权线性回归应运而生。它能够得到类似下图这样更为科学的拟合线段：
所谓局部，就是最大程度考虑待预测点附近的点，所谓加权，就是离待预测点越近，其参考系数(权重)就越大。
因此，在原先的最小二乘法中加入一个用于衡量权重的对角矩阵W。这样，回归系数的求解式就变为：
权重矩阵W又称为 "核"，典型的高斯核的计算方法如下：
下面是采用局部加权线性回归思想的回归系数求解函数：
1 #=================================== 2 # 输入: 3 # testPoint: 测试点 4 # xArr: 特征坐标矩阵 5 # yArr: 特征值矩阵 6 # k: 高斯核权重衰减系数 7 # 输出: 8 # testPoint * ws: 测试点集对应的结果 9 #===================================10 def lwlr(testPoint,xArr,yArr,k=1.0):11 ‘对指定点进行局部加权线性回归‘12 13 xMat = mat(xArr); 14 yMat = mat(yArr).T15 m = shape(xMat)[0]16 17 # 采用向量方式计算高斯核18 weights = mat(eye((m)))19 for j in range(m):20 diffMat = testPoint - xMat[j,:]21 weights[j,j] = exp(diffMat*diffMat.T/(-2.0*k**2))22 23 xTx = xMat.T * (weights * xMat)24 if linalg.det(xTx) == 0.0:25 print "错误: 系数矩阵无法求逆"26 return27 28 ws = xTx.I * (xMat.T * (weights * yMat))29 return testPoint * ws30 31 #===================================32 # 输入:33 # testArr: 测试点集34 # xArr: 特征坐标矩阵35 # yArr: 特征值矩阵36 # 输出:37 # yHat: 测试点集对应的结果集38 #===================================39 def lwlrTest(testArr,xArr,yArr,k=1.0):40 ‘对指定点集进行局部加权回归‘41 42 m = shape(testArr)[0]43 yHat = zeros(m)44 45 # 求出所有测试点集的46 for i in range(m):47 yHat[i] = lwlr(testArr[i],xArr,yArr,k)48 return yHat
如下代码展示回归结果：
1 def test(): 2 ‘展示结果‘ 3 4 # 载入数据 5 xArr, yArr = loadDataSet(‘/home/fangmeng/ex0.txt‘) 6 7 # 获取所有样本点的局部加权回归的预测值 8 yHat = lwlrTest(xArr, xArr, yArr, 0.01) 9 10 xMat = mat(xArr)11 srtInd = xMat[:,1].argsort(0)12 xSort = xMat[srtInd][:,0,:]13 #print xMat[srtInd][:,0,:]14 15 # 显示所有样本点和局部加权拟合线段16 import matplotlib.pyplot as plt17 fig = plt.figure()18 ax = fig.add_subplot(111)19 ax.plot(xSort[:,1], yHat[srtInd])20 ax.scatter(xMat[:,1].flatten().A[0], mat(yArr).T.flatten().A[0], s=2, c=‘red‘)21 plt.show()
当k(衰减系数) = 1时，测试结果：
k(衰减系数) = 0.003时，测试结果：
k(衰减系数) = 0.01时，测试结果：
观察可以发现，k = 1就是和基本线性回归一样了 - 欠拟合；而 k = 0.003 则是过拟合了；k = 0.01 刚好，是最优的选择。
岭回归
假如碰到了这样的情况：散点个数小于特征数了。
这种情况有啥问题呢 ---- (xTx)-1 必然会求解失败！解决办法可以采用岭回归技术。
所谓岭回归，就是在回归系数求解式中的 xTx 之后加上 λI 使求逆部分可顺利求解，更改后的求解式如下：
其中，I 是单位对角矩阵，看起来有点像山岭。这也是为什么这种回归方式叫做岭回归，哈哈！
具体的实现代码本文就不具体给出了，但是有两个地方要特别注意一下：
1. 需要对所有的数据进行标准化
2. 根据不同的 λ 取到不同组的回归系数之后，还需要对不同组的权重进行择优。比较常用的有 lasso 方法(和岭回归的区别在于 w 和 λ 的约束关系)。
具体方案的制定
提到了这么多种的回归方案，那么具体应该采用哪种好呢？
首先，得根据问题的特性选择合适的方案。
在同样适用的情况下，"偏差与方差折中" 是一个很好的选择经验。
红点位置对应的方案便是最佳方案。
小结
回归和分类一样，针对不同问题不同领域都有着不同算法。关键是要把握其整体思路，根据需要去进行选择。
然而，本文所讲解的都是线性回归。线性回归始终有其弊端，因为很多实际问题本身是非线性的。
即使是本文中介绍过的局部加权线性回归，想到每次测试都要拟合一次，也是挺蛋疼的。
因此在下篇文章中，将会专门详细地介绍一种高级的非线性回归法 - 树回归。
监督学习中关于线性回归问题的系统讨论