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个人专题训练——背包dp(持续更新中)
A - Proud Merchants HDU - 3466（带限制的01背包）
题意： 给你m元，去买大米，每袋大米给你p，q，v 当你手中的钱 >= q时，才能买价格为p的这袋大米，它的价值是v，求最大价值。
01背包的转移方程根据题意很容易写出来，但是会有问题。
for (int i = 1; i <= n; ++i)
for (int j = m; j >= q[i]; --j)
dp[j] = max(dp[j], dp[j - p[i]] + v[i]);
考虑到了可能存在排序的问题，就按 q < 排序了，过样例，但是WA了。如果买同样的东西，肯定先买q[i]大的，才能保证还能有再买东西的可能。如何让买的东西多上加多呢，还需要买p[i]便宜的，那手中的钱减小的速度就变慢了，这样也能保证还能存在继续买东西的可能。所以最优策略应该是先买q[i] - p[i]最大的。又因为状态转移方程是逆序更新的，所以按q[i] - p[i] < 排序。
1 #include <cstdio> 2 #include <algorithm> 3 #include <cstring> 4 using namespace std; 5 const int N = 500 + 5; 6 const int M = 5000 + 5; 7 8 int n, m, dp[M]; 9 10 struct node { 11 int p, q, v; 12 } a[N]; 13 14 bool cmp(node a, node b) { 15 return a.q - a.p < b.q - b.p; // 关键点 16 } 17 18 int main() { 19 while (~scanf("%d%d", &n, &m)) { 20 memset(dp, 0, sizeof(dp)); 21 for (int i = 1; i <= n; ++i) 22 scanf("%d%d%d", &a[i].p, &a[i].q, &a[i].v); 23 sort(a + 1, a + n + 1, cmp); 24 for (int i = 1; i <= n; ++i) 25 for (int j = m; j >= a[i].q; --j) 26 dp[j] = max(dp[j], dp[j - a[i].p] + a[i].v); 27 // for (int i = 1; i <= m; ++i) 28 // printf("dp[%d]=%d%s", i, dp[i], i == m ? "\n" : " "); 29 printf("%d\n", dp[m]); 30 } 31 return 0; 32 }
C - Piggy-Bank HDU - 1114（带限制的完全背包）
题意：给出n个硬币的价值和体积，问你能否正好装满背包，若能装满，求总价值的最小值
一般背包要求求最小值，这里初始化为INF，然后用一维的完全背包的方法直接更新就行
1 #include <cstdio> 2 #include <cstring> 3 #include <algorithm> 4 using namespace std; 5 const int INF = 0x3f3f3f3f; 6 const int N = 500 + 5; 7 const int M = 1e4 + 5; 8 9 int E, F, n; 10 int dp[M], p[N], w[N]; 11 12 int main() { 13 int T; scanf("%d", &T); 14 while (T--) { 15 scanf("%d%d%d", &E, &F, &n); 16 for (int i = 1; i <= n; ++i) 17 scanf("%d%d", &p[i], &w[i]); 18 memset(dp, INF, sizeof(dp)); 19 dp[0] = 0; 20 for (int i = 1; i <= n; ++i) 21 for (int j = w[i]; j <= F - E; ++j) 22 dp[j] = min(dp[j], dp[j - w[i]] + p[i]); 23 if (dp[F - E] != INF) 24 printf("The minimum amount of money in the piggy-bank is %d.\n", dp[F - E]); 25 else 26 printf("This is impossible.\n"); 27 } 28 return 0; 29 }
D - I love sneakers! HDU - 3033（分组背包变形）
背包九讲中的分组背包，是每组中最多买一件，而这道题是每组中至少买一件
背包九讲给出的分组背包伪代码，其实就是分组的01背包。
但是这道题，需要对当前情况进行判断是否合法，必须由合法的情况更新过去。
我们考虑两种情况，当前物品是否是本组中第一次被选的，是第一次，就可以由上一组更新这一组
不是第一次，就可以组内更新，相当于组内的01背包。
还要注意初始化的问题，需要将所有不和法的情况置为-1
1 #include <cstdio> 2 #include <cstring> 3 #include <algorithm> 4 #include <vector> 5 using namespace std; 6 const int M = 1e4 + 5; 7 8 int dp[15][M], n, m, k; 9 vector < pair<int, int> > vec[15]; 10 11 int main() { 12 while (~scanf("%d%d%d", &n, &m, &k)) { 13 for (int i = 0; i < 15; ++i) vec[i].clear(); 14 for (int i = 1; i <= n; ++i) { 15 int a, b, c; 16 scanf("%d%d%d", &a, &b, &c); 17 vec[a].push_back(make_pair(b, c)); 18 } 19 memset(dp, -1, sizeof(dp)); 20 memset(dp[0], 0, sizeof(dp[0])); 21 for (int i = 1; i <= k; ++i) 22 for (int x = 0; x < (int) vec[i].size(); ++x) { 23 int p = vec[i][x].first; 24 for (int j = m; j >= p; --j) { 25 int v = vec[i][x].second; 26 if (dp[i][j - p] != -1) 27 dp[i][j] = max(dp[i][j - p] + v, dp[i][j]); 28 if (dp[i - 1][j - p] != -1) 29 dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - 1][j - p] + v); 30 } 31 } 32 if (dp[k][m] != -1) 33 printf("%d\n", dp[k][m]); 34 else 35 printf("Impossible\n"); 36 } 37 return 0; 38 }
E - AreYouBusy HDU - 3535（混合背包）
给你n个集合，刚开始有m元。 所有数据范围都 <= 100
下面对n个集合的描述输入 x，s 表示第i个集合有x件商品，s描述该集合的性质
(s == 0:至少买一件 s == 1:至多买一件 s == 2:数量没限制)
下面x行，给出p，v 给出第i件商品的价格和价值。
思想和上面的D题差不多，因为当前组需要通过上一组的合法状态得到，或者由组内的合法状态得到
我们考虑3种情况：
对于3种情况如何初始化也是一个问题:
对于至少买1件的，一开始本组都是不合法的，而对于其他两种情况，是站在前面的情况下更新本组的，相当于继承前一组的状态，所以要复制前一组的内容
如果用以上的方法写，还需要注意本题最坑的一点，就是存在p为0的情况。
1 #include <iostream> 2 #include <cstdio> 3 #include <algorithm> 4 #include <cstring> 5 #include <vector> 6 using namespace std; 7 const int M = 100 + 5; 8 const int N = 100 + 5; 9 10 int n, m, s[N]; 11 vector < pair <int, int> > vec[N]; 12 int dp[N][M]; 13 14 int main() { 15 //freopen("in.txt", "r", stdin); 16 while (~scanf("%d%d", &n, &m)) { 17 for (int i = 0; i < N; ++i) vec[i].clear(); 18 int x, y, p, v; 19 for (int i = 1; i <= n; ++i) { 20 scanf("%d%d", &x, &y); 21 s[i] = y; 22 while (x--) { 23 scanf("%d%d", &p, &v); 24 vec[i].push_back(make_pair(p, v)); 25 } 26 } 27 memset(dp, 0, sizeof(dp)); 28 for (int i = 1; i <= n; ++i) { 29 if (s[i]) 30 for (int t = 0; t <= m; ++t) dp[i][t] = dp[i - 1][t]; 31 else 32 for (int t = 0; t <= m; ++t) dp[i][t] = -1; 33 for (int x = 0; x < (int) vec[i].size(); ++x) { 34 int p = vec[i][x].first; 35 int v = vec[i][x].second; 36 if (s[i] == 0) { 37 for (int j = m; j >= p; --j) { 38 // 下面两个if的顺序不能错,因为可能存在p为0的情况。 39 // 如果第二个if更新成功,那么再进行第一个if,自身就合法了,就一定会再次更新,一个物品选择了两次 40 // 注意一点:dp[i][j]自身是不合法的,需要通过合法的情况进行更新 41 if (dp[i][j - p] != -1) 42 dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j - p] + v); 43 if (dp[i - 1][j - p] != -1) 44 dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - 1][j - p] + v); 45 } 46 } else if (s[i] == 1) { 47 for (int j = m; j >= p; --j) { 48 if (dp[i - 1][j - p] != -1) 49 dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - 1][j - p] + v); 50 } 51 } else { 52 for (int j = m; j >= p; --j) { 53 if (dp[i][j - p] != -1) 54 dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j - p] + v); 55 } 56 } 57 } 58 } 59 printf("%d\n", dp[n][m]); 60 } 61 return 0; 62 }
对于本题数据范围小，而且存在p为0的情况，可以通过初始化为-INF，来直接避免考虑细节，详见代码，而且组的顺序不影响dp，代码量减少很多
1 #include <cstdio> 2 #include <algorithm> 3 #include <cstring> 4 using namespace std; 5 const int N = 100 + 5; 6 const int INF = 0x3f3f3f3f; 7 8 int n, m, s, x; 9 int dp[N][N], p[N], v[N]; 10 11 int main() { 12 //freopen("in.txt", "r", stdin); 13 while (~scanf("%d%d", &n, &m)) { 14 memset(dp, 0, sizeof(dp)); 15 for (int i = 1; i <= n; ++i) { 16 scanf("%d%d", &x, &s); 17 for (int j = 1; j <= x; ++j) scanf("%d%d", &p[j], &v[j]); 18 for (int j = 0; j <= m; ++j) 19 dp[i][j] = s ? dp[i - 1][j] : -INF; 20 for (int k = 1; k <= x; ++k) { 21 if (s == 0) { 22 for (int j = m; j >= p[k]; --j) 23 dp[i][j] = max(dp[i][j], max(dp[i][j - p[k]] + v[k], dp[i - 1][j - p[k]] + v[k])); 24 } else if (s == 1) { 25 for (int j = m; j >= p[k]; --j) 26 dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - 1][j - p[k]] + v[k]); 27 } else { 28 for (int j = m; j >= p[k]; --j) 29 dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j - p[k]] + v[k]); 30 } 31 } 32 } 33 printf("%d\n", max(dp[n][m], -1)); 34 } 35 return 0; 36 }
F - CD UVA - 624（记录路径的01背包）
给你n个数，和一个sum，让你找这n个数的一个序列，使得和最接近n
参照背包九讲中的方法，这里我们用一维的01背包写，用一维是因为写了二维的时候发现，二维最后存的情况会少，所以二维的意义也只是求个maxn。
记录方法和上面讲的差不多，但是题目要求的是顺序给出选择的数。如果常规地顺序遍历数组，最后还需要从后往前逆推出答案存到vector或者数组中，
还要再逆序输出。不妨背包遍历数组的时候，就逆序遍历，就可以正推答案，也省去了存入的操作，可以直接输出。
1 #include <cstdio> 2 #include <cstring> 3 #include <algorithm> 4 using namespace std; 5 const int M = 1e4 + 5; 6 7 int dp[M], vis[25][M]; 8 int a[25], n, m; 9 10 int main() { 11 freopen("in.txt", "r", stdin); 12 while (~scanf("%d%d", &n, &m)) { 13 for (int i = 1; i <= m; ++i) scanf("%d", &a[i]); 14 memset(dp, 0, sizeof(dp)); 15 memset(vis, 0, sizeof(vis)); 16 for (int i = m; i >= 1; --i) 17 for (int j = n; j >= a[i]; --j) { 18 dp[j] = max(dp[j], dp[j - a[i]] + a[i]); 19 if (dp[j] == dp[j - a[i]] + a[i]) 20 vis[i][j] = 1; 21 } 22 int j = n; 23 for (int i = 1; i <= m; ++i) 24 if (vis[i][j]) { 25 printf("%d ", a[i]); 26 j -= a[i]; 27 } 28 printf("sum:%d\n", dp[n]); 29 } 30 return 0; 31 }
G - Dividing coins UVA - 562（转化成01背包）
给你n个数，让你把它分成两堆，使得两堆的和之差尽量小，求这个差值。
换个说法就是，既然可以分成两堆，那么就是找存在和为sum的方案数，以及和为n - sum的方案数也存在的情况，使abs(2 * sum - n)尽量小
背包九讲中说:直接把01背包那里的max改为sum就行，因为已经遍历了所有可能的组成情况。这样题目就很简单了。dp[i] 表示和为 i 的方案数。
1 #include <iostream> 2 #include <cstdio> 3 #include <algorithm> 4 #include <cstring> 5 using namespace std; 6 const int N = 100 + 5; 7 const int M = 5e4 + 5; 8 9 int a[N]; 10 int dp[M]; 11 12 int main() { 13 int t; scanf("%d", &t); 14 while (t--) { 15 int n; scanf("%d", &n); 16 int sum = 0; 17 for (int i = 1; i <= n; ++i) { 18 scanf("%d", &a[i]); 19 sum += a[i]; 20 } 21 memset(dp, 0, sizeof(dp)); 22 dp[0] = 1; 23 for (int i = 1; i <= n; ++i) 24 for (int j = sum; j >= a[i]; --j) 25 dp[j] += dp[j - a[i]]; 26 int ans = sum; 27 for (int i = 1; i <= sum; ++i) 28 if (dp[i] && dp[sum - i]) 29 ans = min(ans, abs(sum - i * 2)); 30 printf("%d\n", ans); 31 } 32
H - Dollars UVA - 147（转化成完全背包）
给你很多种面值的硬币，让你求构成面值和为sum的方案数，硬币数量不限制
和G题基本一样，就是把换成完全背包的写法，状态转移方程不变。还有一个坑点，就是浮点数转化成整数有误差。
1 /* 2 double 保证小数点后15位准确 3 坑点: 18.90 * 100 = 1889 (精度误差得可怕) 4 无误差的方法(一般不用): 5 (tmp * 1000 - tmp * 100) / 9; 6 更常用的方法: 7 (tmp + eps) * 100 eps足够小 8 */ 9 #include <cstdio> 10 #include <cstring> 11 using namespace std; 12 const double eps = 1e-6; 13 const int M = 3e4 + 5; 14 15 int m; 16 long long dp[M]; 17 int a[11] = {5, 10, 20, 50, 100, 200, 500, 1000, 2000, 5000, 10000}; 18 19 void init() { 20 dp[0] = 1; 21 for (int i = 0; i < 11; ++i) 22 for (int j = a[i]; j <= 30000; ++j) 23 dp[j] += dp[j - a[i]]; 24 } 25 26 int main() { 27 init(); 28 double tmp; 29 while (~scanf("%lf", &tmp) && tmp) { 30 m = (tmp + eps) * 100; 31 printf("%6.2lf%17lld\n", tmp, dp[m]); 32 } 33 return 0; 34 }
个人专题训练——背包dp(持续更新中)
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