B树的生成
flyfish 2015-7-19
从空树開始构建一棵B树 逐个插入keyword

规则：

除根结点之外的全部非终端结点至少有?m/2?<script type="math/tex" id="MathJax-Element-3053">\left \lceil m/2 \right \rceil</script>棵子树，所以keyword的个数必须 n为keyword个数
?m/2?-1?<script type="math/tex" id="MathJax-Element-3054">\leqslant </script>n。

依照A0，K1，A1。K2，A2，…，Kn，An
也就是指针个数比keyword个数多一个

由于树中每一个结点至多有m 棵子树。所以该结点的keyword个数不能超过m-1

也就是，keyword个数的阈值 ?m/2??1<script type="math/tex" id="MathJax-Element-3055"> \left \lceil m/2 \right \rceil-1</script>?n<script type="math/tex" id="MathJax-Element-3056">\leqslant n</script>?m?1<script type="math/tex" id="MathJax-Element-3057">\leqslant m-1</script>

每次插入一个keyword不是在树中加入一个叶子结点，由于这样不再是有效的B树而是首先在最低层的某个非终端结点中加入一个keyword，若该结点的keyword个数不超过m-1，则插入完毕，否则要产生结点的“分裂”

绿色：keyword个数
红色：指针
蓝色：keyword
构建Degree为3keyword从1到7的B树

普通情况下，结点可例如以下实现分裂 引用自严蔚敏《数据结构》

如果*p结点中已有m-1个keyword。当插入一个keyword之后。结点中含有信息为：

（m。A0<script type="math/tex" id="MathJax-Element-3058">A_0</script>，(K1<script type="math/tex" id="MathJax-Element-3059">K_1</script>。A1<script type="math/tex" id="MathJax-Element-3060">A_1</script>)。…。(Km<script type="math/tex" id="MathJax-Element-3061">K_m</script>，Am<script type="math/tex" id="MathJax-Element-3062">A_m</script>)

且当中 Ki<script type="math/tex" id="MathJax-Element-3063">K_i</script><Ki<script type="math/tex" id="MathJax-Element-3064">K_i </script>+<script type="math/tex" id="MathJax-Element-3065">_+</script>1<script type="math/tex" id="MathJax-Element-3066">_1</script> ， 1?<script type="math/tex" id="MathJax-Element-3067">\leqslant</script>i< m

此时可将*P节点分裂为*P和*P’两个结点,

*p结点中含有信息

?m/2?<script type="math/tex" id="MathJax-Element-3068">\left \lceil m/2 \right \rceil</script>-1。A0<script type="math/tex" id="MathJax-Element-3069">A_0</script>，(K1<script type="math/tex" id="MathJax-Element-3070">K_1</script>，A1<script type="math/tex" id="MathJax-Element-3071">A_1</script>)，…，(K?m/2?<script type="math/tex" id="MathJax-Element-3072">K_\left \lceil m/2 \right \rceil</script>?<script type="math/tex" id="MathJax-Element-3073">_-</script>1<script type="math/tex" id="MathJax-Element-3074">_1</script>。A?m/2?<script type="math/tex" id="MathJax-Element-3075">A_\left \lceil m/2 \right \rceil</script>?<script type="math/tex" id="MathJax-Element-3076">_-</script>1<script type="math/tex" id="MathJax-Element-3077">_1</script>)

*p’结点中含有信息

m-?m/2?<script type="math/tex" id="MathJax-Element-3078">\left \lceil m/2 \right \rceil</script>，A?m/2?<script type="math/tex" id="MathJax-Element-3079">A_\left \lceil m/2 \right \rceil</script>。(K?m/2?<script type="math/tex" id="MathJax-Element-3080">K_\left \lceil m/2 \right \rceil</script>+<script type="math/tex" id="MathJax-Element-3081">_+</script>1<script type="math/tex" id="MathJax-Element-3082">_1</script>，A?m/2?<script type="math/tex" id="MathJax-Element-3083">A_\left \lceil m/2 \right \rceil</script>+<script type="math/tex" id="MathJax-Element-3084">_+</script>1<script type="math/tex" id="MathJax-Element-3085">_1</script> ),… ,(Km<script type="math/tex" id="MathJax-Element-3086">K_m</script>。Am<script type="math/tex" id="MathJax-Element-3087">A_m</script>)

而keywordK?m/2?<script type="math/tex" id="MathJax-Element-3088">_\left \lceil m/2 \right \rceil</script>和指针*p’一起插入到*p的双亲结点中.

简化理解
m为B树的阶,n为节点的个数

若在一个包括n<m?1<script type="math/tex" id="MathJax-Element-3089">n

但若把一个新的keyword插入到包括m-1个keyword的结点中，则将引起结点的分裂。

生成一新结点,把原结点上的keywordK按升序排序,也就是 Ki<script type="math/tex" id="MathJax-Element-3090">K_i</script><Ki<script type="math/tex" id="MathJax-Element-3091">K_i </script>+<script type="math/tex" id="MathJax-Element-3092">_+</script>1<script type="math/tex" id="MathJax-Element-3093">_1</script> 。
满足：左边的小于中间的keyword；右边的大于中间的keyword，从中间位置把keyword（不包括中间位置的keyword）分成两部分。

左部分所含keyword放在旧结点中。右部分所含keyword放在新结点中，中间位置的keyword连同新结点的存储位置（指向新节点的指针）插入到双亲结点中。

如果双亲结点的keyword个数也超过m-1，则要再分裂，再往上插入，此时B树可能朝着根的方向生长。