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华为机试—取石子游戏(高级题160分)
Problem Description
1堆石子有n个,两人轮流取.先取者第1次可以取任意多个,但不能全部取完.以后每次取的石子数不能超过上次取子数的2倍。取完者胜.先取者负输出"Secondwin".先取者胜输出"Firstwin".
Input
输入有多组.每组第1行是2<=n<2^31.n=0退出.
Output
先取者负输出"Secondwin". 先取者胜输出"Firstwin".
参看Sample Output.
Sample Input
2
13
10000
0
Sample Output
Second win
Second win
First win
思路:
这是一道Fibonacci’s Game(斐波那契博弈)
斐波那契博弈模型,大致上是这样的:
有一堆个数为 n 的石子,游戏双方轮流取石子,满足:
1. 先手不能在第一次把所有的石子取完;
2. 之后每次可以取的石子数介于1到对手刚取的石子数的2倍之间(包含1和对手刚取的石子数的2倍)。
约定取走最后一个石子的人为赢家,求必败态。
斐波那契博弈模型,大致上是这样的:
有一堆个数为 n 的石子,游戏双方轮流取石子,满足:
1. 先手不能在第一次把所有的石子取完;
2. 之后每次可以取的石子数介于1到对手刚取的石子数的2倍之间(包含1和对手刚取的石子数的2倍)。
约定取走最后一个石子的人为赢家,求必败态。
分析:
n = 2时输出second;
n = 3时也是输出second;
n = 4时,第一个人想获胜就必须先拿1个,这时剩余的石子数为3,此时无论第二个人如何取,第一个人都能赢,输出first;
n = 5时,first不可能获胜,因为他取2时,second直接取掉剩下的3个就会获胜,当他取1时,这样就变成了n为4的情形,所以输出的是second;
n = 6时,first只要去掉1个,就可以让局势变成n为5的情形,所以输出的是first;
n = 7时,first取掉2个,局势变成n为5的情形,故first赢,所以输出的是first;
n = 8时,当first取1的时候,局势变为7的情形,第二个人可赢,first取2的时候,局势变成n为6得到情形,也是第二个人赢,取3的时候,second直接取掉剩下的5个,所以n = 8时,输出的是second;
…………
从上面的分析可以看出,n为2、3、5、8时,这些都是输出second,即必败点,仔细的人会发现这些满足斐波那契数的规律,可以推断13也是一个必败点。
借助“Zeckendorf定理”(齐肯多夫定理):任何正整数可以表示为若干个不连续的Fibonacci数之和。n=12时,只要谁能使石子剩下8且此次取子没超过3就能获胜。因此可以把12看成8+4,把8看成一个站,等价与对4进行"气喘操作"。又如13,13=8+5,5本来就是必败态,得出13也是必败态。也就是说,只要是斐波那契数,都是必败点。
所以我们可以利用斐波那契数的公式:fib[i] = fib[i-1] + fib[i-2],只要n是斐波那契数就输出second。
n = 2时输出second;
n = 3时也是输出second;
n = 4时,第一个人想获胜就必须先拿1个,这时剩余的石子数为3,此时无论第二个人如何取,第一个人都能赢,输出first;
n = 5时,first不可能获胜,因为他取2时,second直接取掉剩下的3个就会获胜,当他取1时,这样就变成了n为4的情形,所以输出的是second;
n = 6时,first只要去掉1个,就可以让局势变成n为5的情形,所以输出的是first;
n = 7时,first取掉2个,局势变成n为5的情形,故first赢,所以输出的是first;
n = 8时,当first取1的时候,局势变为7的情形,第二个人可赢,first取2的时候,局势变成n为6得到情形,也是第二个人赢,取3的时候,second直接取掉剩下的5个,所以n = 8时,输出的是second;
…………
从上面的分析可以看出,n为2、3、5、8时,这些都是输出second,即必败点,仔细的人会发现这些满足斐波那契数的规律,可以推断13也是一个必败点。
借助“Zeckendorf定理”(齐肯多夫定理):任何正整数可以表示为若干个不连续的Fibonacci数之和。n=12时,只要谁能使石子剩下8且此次取子没超过3就能获胜。因此可以把12看成8+4,把8看成一个站,等价与对4进行"气喘操作"。又如13,13=8+5,5本来就是必败态,得出13也是必败态。也就是说,只要是斐波那契数,都是必败点。
所以我们可以利用斐波那契数的公式:fib[i] = fib[i-1] + fib[i-2],只要n是斐波那契数就输出second。
#include<iostream> using namespace std; int main() { //计算到f[48]已经接近超出int的数据范围了 int f[48]; f[0] = 0, f[1] = 1; int i, n; for (i = 2; i < 48; i++) f[i] = f[i-1] + f[i-2]; while(cin>>n && n!=0) { bool flags = 0; //根据题目意思,n>=2的,所以从f[3] = 2开始 for (i = 3; i < 48; i++) { if (n == f[i]) { flags = 1; break; } } if(flags) cout<<"Second win"<<endl; else cout<<"First win"<<endl; } return 0; }
华为机试—取石子游戏(高级题160分)
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