这个点的起始位置是原点O(0,0)，图中的这个向量是向量OA→。我们也可以找一个其他的字母标记来标识它，例如u。

注：你会发现我们写向量时，在向量上方有一个箭头，或者是将向量加粗。在这篇文章的剩余部分中，如果像OA→这样由两个字母可以表示的，那么我将使用箭头来表示向量，否则的话将使用加粗字体的变量来表示向量。

现在我们知道有一个向量，但我们仍然不知道什么是一个向量。

定义：向量是一个既有大小又有方向的对象。

OK，所以这里涉及到两个概念：大小 和 方向。

1) 向量大小

一个向量x的大小写作∥x∥，称作向量的模。对我们的OA→来说，∥OA∥是线段OA的长度。

 

从图中我们可以很容易地使用勾股定理计算出距离OA： 

2) 向量的方向

方向是向量的第二个组成部分。

定义：向量u(u1,u2)的方向是向量w(u1∥u∥,u2∥u∥)

那向量w的坐标怎么得到的？

要得到一个向量的方向，我们需要借助它的夹角。 

 

上图展示了向量u(u1,u2)，其中u1=3，u2=4。

简单的理解 : 向量u的方向是由夹角θ和夹角α的余弦值决定的。 
现在我们来观察一下角度的余弦值： 

因此，这就是向量w最初的定义，也就是为什么他的坐标被称作方向余弦。

计算方向向量

我们现在要计算上图向量u的方向。 

向量u(3,4)的方向是向量w(0.6,0.8)。 
下图是这个方向向量的一个示例： 

 

我们可以看出w和u看起来一样，只是w的值小一点。并且w的模长为1，我们也把它称之为单位向量。

两个向量的和

 

有两个向量u(u1,u2)和v(v1,v2),那么：

这意味着两个向量相加形成了第三个向量，第三个向量的坐标是初始两个向量坐标的加和。下面是一个简单的图解： 

 

两个向量的差

类似的，对于减法我们有： 

u?v=(u1?v1,u2?v2)

 

由于减法是不可交换的，我们也应该考虑另一种情况： 

v?u=(v1?u1,v2?u2)

 

向量内积

关于理解SVM的一个非常重要的概念就是内积(点积)。

定义：从几何学来说，它是两个向量的模长以及它们之间的夹角余弦值的乘积。

也就是意味着，如果我们有两个向量x和y,他们间的夹角为θ，他们的内积是：

为什么内积这么算

为了便于理解，我们看一下这个问题的几何图形 

 

在定义中我们写cos(θ),让我们看一下他到底是什么。 
初中数学知识告诉我们，在一个直角三角形中：

OK，一个稍微复杂一点的图形，里面有两个向量，如下：

 
和 
 

合在一起可以得到如下的几何图像：

 

可以看出：

所以计算cos(θ)就是在计算cos(β?α)，根据两角差的余弦公式为：

直角三角形中三角函数的定义 =_=| 

三角公式替换后有： 

将∥x∥∥y∥左移有： 

也就是说： 

就这样推导了一遍向量内积的几何定义…

多说一句，当我们在谈论x?y的点积是我们在谈论的是：

• • 向量X，Y的内积（线性代数）
  • 标量积，因为我们做两个向量的乘积，它返回一个标量（一个实数）。

向量的正交投影

有两个向量x与y,怎么求x在y上的正交投影？，如下图所示，将x投射到y上，得到向量z 

 

通过定义：

我们从内积的部分有： 

在方程中替换cos(θ)有： 

如果我们定义了u作为y的方向那么： 

并且 

现在我们可以用一种简单的方式定义z的模： 
z与y有相同的方向向量u 

为什么要费尽心思去讲正交投影？因为它能帮助我们计算一个距离∥x?z∥。 

 

3. SVM的超平面

我们都知道一条直线的数学方程是：y=ax+b，而超平面会被定义成类似的形式：

这两种形式是如何联系的？在超平面的方程可以看出，变量的名称是粗体的。是的，所以它们不是标量，是向量了。此外wTx是两个向量的内积。 
还有一点大家注意一下，有时候我们会做一些形式变换，比如y=ax+b和y?ax?b=0其实是等价的。

两个向量w????b?a1???与x???1xy???，我们有 

注意到w0是?b，这个值确定了与纵轴的交点。为什么我们用wTx这个方程式代表超平面而非y=ax+b呢?因为

• • 在多于二维的空间里，这个方程式更适用
  • 向量w垂直于超平面

计算一个点到超平面的距离第二个原因将派上用场。

3.1 计算点到超平面距离

下图中我们有一个超平面，他将两组数据划分开。 

 

为了简化这个例子，我们干脆将w0设为0。 
图中的超平面方程为：x2=?2x1相当于：

其中w(21)，x(x1x2)。请注意w是一个向量而非数据点。

我们来计算一下点A(3,4)到超平面的距离，下图是A投影到超平面的距离。 

 

我们把点A视作一个从原点指向A的向量。再将A向量投影到向量w上 

 

得到向量p 

 

我们的目标是找到点A(3,4)和超平面之间的距离。从上图中可以很清楚看到这个距离就是∥p∥。让我们一起计算一下它的值：

向量w=(2,1)垂直于超平面，向量a=(3,4) 

3.2 计算超平面的间隔

我们得出了A与超平面的距离∥p∥，根据间隔公式有： 

4.总结

OK，到目前为止，其实就是简单回顾了一下向量中的一些概念，依旧用向量的知识，怎么帮助我们去计算超平面间隔。

参考资料 
SVM - Understanding the math