作者：寒小阳 && 龙心尘
时间：2016年1月。

出处：http://blog.csdn.net/longxinchen_ml/article/details/50597149
http://blog.csdn.net/han_xiaoyang/article/details/50616559
声明：版权全部，转载请联系作者并注明出处

1. 引言

贝叶斯方法是一个历史悠久。有着坚实的理论基础的方法，同一时候处理非常多问题时直接而又高效。非常多高级自然语言处理模型也能够从它演化而来。因此，学习贝叶斯方法，是研究自然语言处理问题的一个非常好的切入口。

2. 贝叶斯公式

贝叶斯公式就一行：

P(Y|X)=P(X|Y)P(Y)P(X)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-1">P(Y|X)=\frac{P(X|Y)P(Y)}{P(X)} </script>

而它事实上是由下面的联合概率公式推导出来：

P(Y,X)=P(Y|X)P(X)=P(X|Y)P(Y)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-2">P(Y,X) = P(Y|X)P(X)=P(X|Y)P(Y) </script>

当中P(Y)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-3">P(Y)</script>叫做先验概率。P(Y|X)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-4">P(Y|X)</script>叫做后验概率，P(Y,X)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-5">P(Y,X)</script>叫做联合概率。

额，恩，没了，贝叶斯最核心的公式就这么些。

3. 用机器学习的视角理解贝叶斯公式

在机器学习的视角下，我们把X<script type="math/tex" id="MathJax-Element-6">X</script>理解成“具有某特征”。把Y<script type="math/tex" id="MathJax-Element-7">Y</script>理解成“类别标签”(一般机器学习问题中都是X=>特征, Y=>结果对吧)。

在最简单的二分类问题(是与否判定)下。我们将Y<script type="math/tex" id="MathJax-Element-8">Y</script>理解成“属于某类”的标签。于是贝叶斯公式就变形成了下面的样子:

P(“属于某类”|“具有某特征”)=P(“具有某特征”|“属于某类”)P(“属于某类”)P(“具有某特征”)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-9">P(“属于某类”|“具有某特征”)=\frac{P(“具有某特征”|“属于某类”)P(“属于某类”)}{P(“具有某特征”)} </script>

我们尝试更口(shuo)语(ren)化(hua)的方式解释一下上述公式：

P(“属于某类”|“具有某特征”)=<script type="math/tex" id="MathJax-Element-10">P(“属于某类”|“具有某特征”)=</script>在已知某样本“具有某特征”的条件下，该样本“属于某类”的概率。

所以叫做『后验概率』。
P(“具有某特征”|“属于某类”)=<script type="math/tex" id="MathJax-Element-11">P(“具有某特征”|“属于某类”)=</script>在已知某样本“属于某类”的条件下。该样本“具有某特征”的概率。
P(“属于某类”)=<script type="math/tex" id="MathJax-Element-12">P(“属于某类”) =</script>（在未知某样本具有该“具有某特征”的条件下，）该样本“属于某类”的概率。所以叫做『先验概率』。
P(“具有某特征”)=<script type="math/tex" id="MathJax-Element-13">P(“具有某特征”) =</script>(在未知某样本“属于某类”的条件下，)该样本“具有某特征”的概率。

而我们二分类问题的终于目的就是要推断P(“属于某类”|“具有某特征”)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-14">P(“属于某类”|“具有某特征”)</script>是否大于1/2就够了。贝叶斯方法把计算“具有某特征的条件下属于某类”的概率转换成须要计算“属于某类的条件下具有某特征”的概率，而后者获取方法就简单多了，我们仅仅须要找到一些包括已知特征标签的样本，就可以进行训练。而样本的类别标签都是明白的。所以贝叶斯方法在机器学习里属于有监督学习方法。

这里再补充一下，一般『先验概率』、『后验概率』是相对出现的，比方P(Y)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-15">P(Y)</script>与P(Y|X)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-16">P(Y|X)</script>是关于Y<script type="math/tex" id="MathJax-Element-17">Y</script>的先验概率与后验概率，P(X)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-18">P(X)</script>与P(X|Y)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-19">P(X|Y)</script>是关于X<script type="math/tex" id="MathJax-Element-20">X</script>的先验概率与后验概率。

4. 垃圾邮件识别

举个样例好啦，我们如今要对邮件进行分类。识别垃圾邮件和普通邮件，如果我们选择使用朴素贝叶斯分类器。那目标就是推断P(“垃圾邮件”|“具有某特征”)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-21">P(“垃圾邮件”|“具有某特征”)</script>是否大于1/2。如今如果我们有垃圾邮件和正常邮件各1万封作为训练集。

须要推断下面这个邮件是否属于垃圾邮件：

“我司可办理正规发票（保真）17%增值税发票点数优惠！

”

也就是推断概率P(“垃圾邮件”|“我司可办理正规发票（保真）17%增值税发票点数优惠！

”)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-22">P(“垃圾邮件”|“我司可办理正规发票（保真）17\%增值税发票点数优惠！

”)</script>是否大于1/2。

咳咳。有木有发现，转换成的这个概率，计算的方法：就是写个计数器。然后+1 +1 +1统计出全部垃圾邮件和正常邮件中出现这句话的次数啊。！

！好。详细点说：

P(“垃圾邮件”|“我司可办理正规发票（保真）17%增值税发票点数优惠。”)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-23">P(“垃圾邮件”|“我司可办理正规发票（保真）17\%增值税发票点数优惠！

”)</script>
=垃圾邮件中出现这句话的次数垃圾邮件中出现这句话的次数+正常邮件中出现这句话的次数<script type="math/tex" id="MathJax-Element-24"> =\frac{垃圾邮件中出现这句话的次数}{垃圾邮件中出现这句话的次数+正常邮件中出现这句话的次数}</script>

5. 分词

然后同学们開始朝我扔烂白菜和臭鸡蛋。“骗纸！

！

误人子弟！

！你以为发垃圾邮件的人智商都停留在20世纪吗。。你以为它们发邮件像抄作业一样不改内容吗！

！

哪来那么多同样的句子！

！

”。

咳咳，表闹，确实，在我们这种样本容量下，『全然击中』的句子非常少甚至没有（无法满足大数定律。），算出来的概率会非常失真。一方面找到庞大的训练集是一件非常困难的事情，还有一方面事实上对于不论什么的训练集，我们都能够构造出一个从未在训练集中出现的句子作为垃圾邮件（真心的。之前看过朴素贝叶斯分类分错的邮件。我觉得大中华同胞创(zao)新(jia)的能力简直令人惊(fa)呀(zhi)）。

一个非常悲哀可是非常现实的结论：
训练集是有限的，而句子的可能性则是无限的。所以覆盖全部句子可能性的训练集是不存在的。

所以解决方法是？
对啦。句子的可能性无限，可是词语就那么些！

！

汉语经常使用字2500个，经常使用词语也就56000个(你终于明白小学语文老师的用心良苦了)。按人们的经验理解，两句话意思相近并不强求非得每一个字、词语都一样。比方“我司可办理正规发票。17%增值税发票点数优惠！”。这句话就比之前那句话少了“（保真）”这个词，可是意思基本一样。如果把这些情况也考虑进来，那样本数量就会添加，这就方便我们计算了。

于是，我们能够不拿句子作为特征，而是拿句子里面的词语（组合）作为特征去考虑。比方“正规发票”能够作为一个单独的词语，“增值税”也能够作为一个单独的词语等等。

句子“我司可办理正规发票，17%增值税发票点数优惠！

”就能够变成（“我”,“司”,“可”,“办理”,“正规发票”,“保真”,“增值税”,“发票”,“点数”,“优惠”)）。

于是你接触到了中文NLP中，最最最重要的技术之中的一个：分词！！

。也就是把一整句话拆分成更细粒度的词语来进行表示。咳咳。另外。分词之后去除标点符号、数字甚至无关成分(停用词)是特征预处理中的一项技术。

中文分词是一个专门的技术领域(我不会告诉你某搜索引擎厂码砖工有专门做分词的。！

！

)，我们将在下一篇文章探讨。这里先将其作为一个已知情况进行处理。

详细细节请见下回分晓

我们观察（“我”,“司”,“可”,“办理”,“正规发票”,“保真”,“增值税”,“发票”,“点数”,“优惠”)。这能够理解成一个向量：向量的每一维度都表示着该特征词在文本中的特定位置存在。这种将特征拆分成更小的单元，根据这些更灵活、更细粒度的特征进行推断的思维方式，在自然语言处理与机器学习中都是非经常见又有效的。

因此贝叶斯公式就变成了：

P(“垃圾邮件”|（“我”,“司”,“可”,“办理”,“正规发票”,“保真”,“增值税”,“发票”,“点数”,“优惠”)）<script type="math/tex" id="MathJax-Element-25">P(“垃圾邮件”|（“我”,“司”,“可”,“办理”,“正规发票”,“保真”,“增值税”,“发票”,“点数”,“优惠”)）</script>
=P(（“我”,“司”,“可”,“办理”,“正规发票”,“保真”,“增值税”,“发票”,“点数”,“优惠”)|"垃圾邮件"）P(“垃圾邮件”)P(（“我”,“司”,“可”,“办理”,“正规发票”,“保真”,“增值税”,“发票”,“点数”,“优惠”))<script type="math/tex" id="MathJax-Element-26">=\frac{P(（“我”,“司”,“可”,“办理”,“正规发票”,“保真”,“增值税”,“发票”,“点数”,“优惠”)|"垃圾邮件"）P(“垃圾邮件”)}{P(（“我”,“司”,“可”,“办理”,“正规发票”,“保真”,“增值税”,“发票”,“点数”,“优惠”)) }</script>

P(“正常邮件”|（“我”,“司”,“可”,“办理”,“正规发票”,“保真”,“增值税”,“发票”,“点数”,“优惠”)）<script type="math/tex" id="MathJax-Element-27">P(“正常邮件”|（“我”,“司”,“可”,“办理”,“正规发票”,“保真”,“增值税”,“发票”,“点数”,“优惠”)）</script>
=P(（“我”,“司”,“可”,“办理”,“正规发票”,“保真”,“增值税”,“发票”,“点数”,“优惠”)|"正常邮件"）P(“正常邮件”)P(（“我”,“司”,“可”,“办理”,“正规发票”,“保真”,“增值税”,“发票”,“点数”,“优惠”))<script type="math/tex" id="MathJax-Element-28">=\frac{P(（“我”,“司”,“可”,“办理”,“正规发票”,“保真”,“增值税”,“发票”,“点数”,“优惠”)|"正常邮件"）P(“正常邮件”)}{P(（“我”,“司”,“可”,“办理”,“正规发票”,“保真”,“增值税”,“发票”,“点数”,“优惠”)) }</script>

6. 条件独立如果

有些同学说…好像…似乎…经过上面折腾，概率看起来更复杂了-_-||
那…那我们简化一下…

概率P(（“我”,“司”,“可”,“办理”,“正规发票”,“保真”,“增值税”,“发票”,“点数”,“优惠”)|"垃圾邮件"）<script type="math/tex" id="MathJax-Element-29">P(（“我”,“司”,“可”,“办理”,“正规发票”,“保真”,“增值税”,“发票”,“点数”,“优惠”)|"垃圾邮件"）</script>依然不够好求。我们引进一个非常朴素的近似。为了让公式显得更加紧凑，我们令字母S表示“垃圾邮件”,令字母H表示“正常邮件”。

近似公式例如以下：

P(（“我”,“司”,“可”,“办理”,“正规发票”,“保真”,“增值税”,“发票”,“点数”,“优惠”)|S）<script type="math/tex" id="MathJax-Element-30">P(（“我”,“司”,“可”,“办理”,“正规发票”,“保真”,“增值税”,“发票”,“点数”,“优惠”)|S）</script>
=P(“我”|S）×P(“司”|S）×P(“可”|S）×P(“办理”|S）×P(“正规发票”|S）<script type="math/tex" id="MathJax-Element-31">=P(“我”|S）×P(“司”|S）×P(“可”|S）×P(“办理”|S）×P(“正规发票”|S）</script>
×P(“保真”|S）×P(“增值税”|S）×P(“发票”|S）×P(“点数”|S）×P(“优惠”|S)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-32">×P(“保真”|S）×P(“增值税”|S）×P(“发票”|S）×P(“点数”|S）×P(“优惠”|S)</script>

这就是传说中的条件独立如果。基于“正常邮件”的条件独立如果的式子与上式相似。此处省去。接着，将条件独立如果代入上面两个相反事件的贝叶斯公式。

于是我们就仅仅须要比較下面两个式子的大小：

C=P(“我”|S)P(“司”|S)P(“可”|S)P(“办理”|S)P(“正规发票”|S)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-33">C = P(“我”|S)P(“司”|S)P(“可”|S)P(“办理”|S)P(“正规发票”|S)</script>
×P(“保真”|S)P(“增值税”|S)P(“发票”|S)P(“点数”|S)P(“优惠”|S)P(“垃圾邮件”)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-34">×P(“保真”|S)P(“增值税”|S)P(“发票”|S)P(“点数”|S)P(“优惠”|S)P(“垃圾邮件”)</script>
C???=P(“我”|H)P(“司”|H)P(“可”|H)P(“办理”|H)P(“正规发票”|H)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-35">\overline{C}=P(“我”|H)P(“司”|H)P(“可”|H)P(“办理”|H)P(“正规发票”|H)</script>
×P(“保真”|H)P(“增值税”|H)P(“发票”|H)P(“点数”|H)P(“优惠”|H)P(“正常邮件”)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-36">×P(“保真”|H)P(“增值税”|H)P(“发票”|H)P(“点数”|H)P(“优惠”|H)P(“正常邮件”) </script>

厉(wo)害(cao)！酱紫处理后式子中的每一项都特别好求！

仅仅须要分别统计各类邮件中该关键词出现的概率就能够了！！！比方：

P(“发票”|S）=垃圾邮件中所有“发票”的次数垃圾邮件中所有词语的次数<script type="math/tex" id="MathJax-Element-37">P(“发票”|S）=\frac{垃圾邮件中全部“发票”的次数}{垃圾邮件中全部词语的次数}</script>

统计次数非常方便。并且样本数量足够大。算出来的概率比較接近真实。于是垃圾邮件识别的问题就可解了。

7. 朴素贝叶斯(Naive Bayes)。“Naive”在何处？

加上条件独立如果的贝叶斯方法就是朴素贝叶斯方法（Naive Bayes）。 Naive的发音是“乃一污”，意思是“朴素的”、“幼稚的”、“蠢蠢的”。咳咳，也就是说，大神们取名说该方法是一种比較萌蠢的方法，为啥？

将句子（“我”,“司”,“可”,“办理”,“正规发票”) 中的 （“我”,“司”）与（“正规发票”）调换一下顺序，就变成了一个新的句子（“正规发票”,“可”,“办理”, “我”, “司”)。新句子与旧句子的意思全然不同。但由于乘法交换律，朴素贝叶斯方法中算出来二者的条件概率全然一样！

计算步骤例如以下：

P(（“我”,“司”,“可”,“办理”,“正规发票”)|S)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-38">P(（“我”,“司”,“可”,“办理”,“正规发票”)|S)</script>
=P(“我”|S)P(“司”|S)P(“可”|S)P(“办理”|S)P(“正规发票”|S)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-39">=P(“我”|S)P(“司”|S)P(“可”|S)P(“办理”|S)P(“正规发票”|S) </script>
=P(“正规发票”|S)P(“可”|S)P(“办理”|S)P(“我”|S)P(“司”|S）<script type="math/tex" id="MathJax-Element-40">=P(“正规发票”|S)P(“可”|S)P(“办理”|S)P(“我”|S)P(“司”|S）</script>
=P(（“正规发票”,“可”,“办理”,“我”,“司”)|S)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-41">=P(（“正规发票”,“可”,“办理”, “我”, “司”)|S)</script>

也就是说。在朴素贝叶斯眼里，“我司可办理正规发票”与“正规发票可办理我司”全然同样。朴素贝叶斯失去了词语之间的顺序信息。

这就相当于把全部的词汇扔进到一个袋子里随便搅和，贝叶斯都觉得它们一样。因此这种情况也称作词袋子模型(bag of words)。

词袋子模型与人们的日常经验全然不同。比方，在条件独立如果的情况下，“武松打死了老虎”与“老虎打死了武松”被它认作一个意思了。

恩。朴素贝叶斯就是这么单纯和直接。对照于其它分类器。好像是显得有那么点萌蠢。

8. 简单高效，吊丝逆袭

尽管说朴素贝叶斯方法萌蠢萌蠢的，但实践证明在垃圾邮件识别的应用还令人诧异地好。

Paul Graham先生自己简单做了一个朴素贝叶斯分类器，“1000封垃圾邮件能够被过滤掉995封，并且没有一个误判”。

（Paul Graham《黑客与画家》）

那个…效果为啥好呢？

“有人对此提出了一个理论解释，并且建立了什么时候朴素贝叶斯的效果能够等价于非朴素贝叶斯的充要条件。这个解释的核心就是：有些独立如果在各个分类之间的分布都是均匀的所以对于似然的相对大小不产生影响；即便不是如此，也有非常大的可能性各个独立如果所产生的消极影响或积极影响互相抵消，终于导致结果受到的影响不大。详细的数学公式请參考这篇 paper。”（刘未鹏《：平庸而又奇妙的贝叶斯方法》）

恩。这个分类器中最简单直接看似萌蠢的小盆友『朴素贝叶斯』，实际上却是简单、实用、且强大的。

9. 处理反复词语的三种方式

我们之前的垃圾邮件向量（“我”,“司”,“可”,“办理”,“正规发票”,“保真”,“增值税”,“发票”,“点数”,“优惠”)，当中每一个词都不反复。而这在现实中事实上非常少见。由于如果文本长度添加，或者分词方法改变，必定会有很多词反复出现，因此须要对这种情况进行进一步探讨。

比方下面这段邮件：

“代开发票。增值税发票。正规发票。”
分词后为向量：
（“代开”,“发票”,“增值税”,“发票”,“正规”,“发票”）

当中“发票”反复了三次。

9.1 多项式模型：

如果我们考虑反复词语的情况，也就是说。反复的词语我们视为其出现多次，直接按条件独立如果的方式推导。则有

P(（“代开”,“发票”,“增值税”,“发票”,“正规”,“发票”)|S）<script type="math/tex" id="MathJax-Element-42">P(（“代开”,“发票”,“增值税”,“发票”,“正规”,“发票”)|S）</script>
=P(“代开””|S)P(“发票”|S)P(“增值税”|S)P(“发票”|S)P(“正规”|S)P(“发票”|S）<script type="math/tex" id="MathJax-Element-43">=P(“代开””|S)P(“发票”|S)P(“增值税”|S)P(“发票”|S)P(“正规”|S)P(“发票”|S）</script>
=P(“代开””|S)P3(“发票”|S)P(“增值税”|S)P(“正规”|S)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-44">=P(“代开””|S)P^3(“发票”|S)P(“增值税”|S)P(“正规”|S)</script>
注意这一项:P3(“发票”|S）<script type="math/tex" id="MathJax-Element-45">P^3(“发票”|S）</script>。

在统计计算P(“发票”|S）时，每一个被统计的垃圾邮件样本中反复的词语也统计多次。

P(“发票”|S）=每封垃圾邮件中出现“发票”的次数的总和每封垃圾邮件中所有词出现次数（计算重复次数）的总和<script type="math/tex" id="MathJax-Element-46">P(“发票”|S）=\frac{每封垃圾邮件中出现“发票”的次数的总和}{每封垃圾邮件中全部词出现次数（计算反复次数）的总和}</script>

你看这个多次出现的结果。出如今概率的指数/次方上，因此这种模型叫作多项式模型。

9.2 伯努利模型

还有一种更加简化的方法是将反复的词语都视为其仅仅出现1次，

P(（“代开”,“发票”,“增值税”,“发票”,“正规”,“发票”)|S）<script type="math/tex" id="MathJax-Element-47">P(（“代开”,“发票”,“增值税”,“发票”,“正规”,“发票”)|S）</script>
=P(“发票”|S)P(“代开””|S)P(“增值税”|S)P(“正规”|S）<script type="math/tex" id="MathJax-Element-48">=P(“发票”|S)P(“代开””|S)P(“增值税”|S)P(“正规”|S）</script>

统计计算P(“词语”|S）<script type="math/tex" id="MathJax-Element-49">P(“词语”|S）</script>时也是如此。

P(“发票”|S）=出现“发票”的垃圾邮件的封数每封垃圾邮件中所有词出现次数（出现了仅仅计算一次）的总和<script type="math/tex" id="MathJax-Element-50">P(“发票”|S）=\frac{出现“发票”的垃圾邮件的封数}{每封垃圾邮件中全部词出现次数（出现了仅仅计算一次）的总和}</script>

这种模型叫作伯努利模型（又称为二项独立模型）。这种方式更加简化与方便。当然它丢失了词频的信息。因此效果可能会差一些。

9.3 混合模型

第三种方式是在计算句子概率时，不考虑反复词语出现的次数，可是在统计计算词语的概率P(“词语”|S）时。却考虑反复词语的出现次数。这种模型能够叫作混合模型。

我们通过下图展示三种模型的关系。

实践中採用哪种模型，关键看详细的业务场景。笔者的简单经验是。对于垃圾邮件识别，混合模型更好些。

10. 去除停用词与选择关键词

我们继续观察（“我”,“司”,“可”,“办理”,“正规发票”,“保真”,“增值税”,“发票”,“点数”,“优惠”) 这句话。事实上，像“我”、“可”之类词事实上非常中性，不管其是否出如今垃圾邮件中都无法帮助推断的实用信息。所以能够直接不考虑这些典型的词。这些无助于我们分类的词语叫作“停用词”（Stop Words）。这样能够降低我们训练模型、推断分类的时间。

于是之前的句子就变成了（“司”,“办理”,“正规发票”,“保真”,“增值税”,“发票”,“点数”,“优惠”) 。

我们进一步分析。以人类的经验，事实上“正规发票”、“发票”这类的词如果出现的话，邮件作为垃圾邮件的概率非常大。能够作为我们区分垃圾邮件的“关键词”。

而像“司”、“办理”、“优惠”这类的词则有点鸡肋，可能有助于分类。但又不那么强烈。如果想省事做个简单的分类器的话。则能够直接採用“关键词”进行统计与推断，剩下的词就能够先不管了。于是之前的垃圾邮件句子就变成了（“正规发票”,“发票”) 。这样就更加降低了我们训练模型、推断分类的时间，速度非常快。

“停用词”和“关键词”一般都能够提前靠人工经验指定。不同的“停用词”和“关键词”训练出来的分类器的效果也会有些差异。

那么有没有量化的指标来评估不同词语的区分能力？在我们之前的文章《机器学习系列(6)_从白富美相亲看特征选择与预处理（下）》事实上就提供了一种评价方法，大家能够參考。此处就不赘述了。

11. 浅谈平滑技术

我们来说个问题(中文NLP里问题超级多，哭瞎T_T)，比方在计算下面独立条件如果的概率：

P(（“我”,“司”,“可”,“办理”,“正规发票”)|S)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-51">P(（“我”,“司”,“可”,“办理”,“正规发票”)|S)</script>
=P(“我”|S)P(“司”|S)P(“可”|S)P(“办理”|S)P(“正规发票”|S）<script type="math/tex" id="MathJax-Element-52">=P(“我”|S)P(“司”|S)P(“可”|S)P(“办理”|S)P(“正规发票”|S）</script>

我们扫描一下训练集。发现“正规发票”这个词从出现过。！！，于是P(“正规发票”|S）=0<script type="math/tex" id="MathJax-Element-53">P(“正规发票”|S）=0</script>…问题严重了，整个概率都变成0了。。。朴素贝叶斯方法面对一堆0，非常凄慘地失效了…更残酷的是这种情况事实上非经常见，由于哪怕训练集再大。也可能有覆盖不到的词语。本质上还是样本数量太少。不满足大数定律。计算出来的概率失真。

为了解决这种问题。一种分析思路就是直接不考虑这种词语。但这个方案就相当于默认给P(“正规发票”|S）赋值为1。

事实上效果不太好，大量的统计信息给浪费掉了。我们进一步分析。既然能够默认赋值为1，为什么不能默认赋值为一个非常小的数？这就是平滑技术的基本思路。依然保持着一贯的作风，朴实/土可是直接而有效。

对于伯努利模型，P(“正规发票”|S）的一种平滑算法是：

P(“正规发票”|S）=出现“正规发票”的垃圾邮件的封数+1每封垃圾邮件中所有词出现次数（出现了仅仅计算一次）的总和+2<script type="math/tex" id="MathJax-Element-54">P(“正规发票”|S）=\frac{出现“正规发票”的垃圾邮件的封数+1}{每封垃圾邮件中全部词出现次数（出现了仅仅计算一次）的总和+2}</script>

对于多项式模型，P(“正规发票”| S）的一种平滑算法是：

P(“发票”|S）=每封垃圾邮件中出现“发票”的次数的总和+1每封垃圾邮件中所有词出现次数（计算重复次数）的总和+被统计的词表的词语数量<script type="math/tex" id="MathJax-Element-55">P(“发票”|S）=\frac{每封垃圾邮件中出现“发票”的次数的总和+1}{每封垃圾邮件中全部词出现次数（计算反复次数）的总和+被统计的词表的词语数量}</script>

说起来，平滑技术的种类事实上非常多，有兴趣的话回头我们专门拉个专题讲讲好了。这里仅仅提一点，就是全部的平滑技术都是给未出如今训练集中的词语一个预计的概率，而对应地调低其它已经出现的词语的概率。

平滑技术是由于数据集太小而产生的现实需求。

如果数据集足够大。平滑技术对结果的影响将会变小。

12. 小结

我们找了个最简单常见的样例：垃圾邮件识别。说明了一下朴素贝叶斯进行文本分类的思路过程。基本思路是先区分好训练集与測试集，对文本集合进行分词、去除标点符号等特征预处理的操作，然后使用条件独立如果，将原概率转换成词概率乘积，再进行兴许的处理。

贝叶斯公式 + 条件独立如果 = 朴素贝叶斯方法

基于对反复词语在训练阶段与推断（測试）阶段的三种不同处理方式，我们对应的有伯努利模型、多项式模型和混合模型。

在训练阶段，如果样本集合太小导致某些词语并未出现，我们能够採用平滑技术对其概率给一个预计值。并且并非全部的词语都须要统计，我们能够按对应的“停用词”和“关键词”对模型进行进一步简化，提高训练和推断速度。

由于公式比較多。为了防止看到公式就狗带的情况，我们尽量用口(shuo)语(ren)化(hua)的方式表达公式。不严谨之处还望见谅，有纰漏之处欢迎大家指出。