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【170723】一个简洁的求最大公约数算法

 1 import java.util.Scanner;
 2 
 3 public class ZuiDaGongYueShuClass {
 4 
 5     public static void main(String[] args) {
 6         Scanner in = new Scanner(System.in);
 7         int a = in.nextInt();
 8         int b = in.nextInt();
 9         while (b != 0) {
10             int r = a % b;
11             a = b;
12             b = r;
13         }
14         System.out.println(a);
15         in.close();
16     }
17 }
//代码来自MOOC中国 翁恺 零基础学习Java

此处的核心算法在于:

1 while (b != 0) {
2     int r = a % b;
3     a = b;
4     b = r;
5 }

在此例中,原本的a、b中分别存放用户输入的两个整数,经过此循环的计算,a中将存放最终结果即最大公约数。

 证明方法如下:(来自百度百科)

证法一
a可以表示成a = kb + r(a,b,k,r皆为正整数,且r<b),则r = a mod b
假设d是a,b的一个公约数,记作d|a,d|b,即a和b都可以被d整除。
而r = a - kb,两边同时除以d,r/d=a/d-kb/d=m,由等式右边可知m为整数,因此d|r
因此d也是b,a mod b的公约数
假设d是b,a mod b的公约数, 则d|b,d|(a-k*b),k是一个整数,
进而d|a.因此d也是a,b的公约数
因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的,其最大公约数也必然相等,得证。


证法二

第一步:令c=gcd(a,b),则设a=mc,b=nc
第二步:可知r =a-kb=mc-knc=(m-kn)c
第三步:根据第二步结果可知c也是r的因数
第四步:可以断定m-kn与n互素【否则,可设m-kn=xd,n=yd,(d>1),则m=kn+xd=kyd+xd=(ky+x)d,则a=mc=(ky+x)dc,b=nc=ycd,故a与b最大公约数≥cd,而非c,与前面结论矛盾】
从而可知gcd(b,r)=c,继而gcd(a,b)=gcd(b,r),得证

 

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