在之前的讨论中，我们总是给定一个样本x，然后给或者不给label y。之后对样本进行拟合、分类、聚类或者降维等操作。然而对于很多序列决策或者控制问题，很难有这么规则的样本。比如，四足机器人的控制问题，刚开始都不知道应该让其动那条腿，在移动过程中，也不知道怎么让机器人自动找到合适的前进方向。

     另外如要设计一个下象棋的AI，每走一步实际上也是一个决策过程，虽然对于简单的棋有A*的启发式方法，但在局势复杂时，仍然要让机器向后面多考虑几步后才能决定走哪一步比较好，因此需要更好的决策方法。

     对于这种控制决策问题，有这么一种解决思路。我们设计一个回报函数（reward function），如果learning agent（如上面的四足机器人、象棋AI程序）在决定一步后，获得了较好的结果，那么我们给agent一些回报（比如回报函数结果为正），得到较差的结果，那么回报函数为负。比如，四足机器人，如果他向前走了一步（接近目标），那么回报函数为正，后退为负。如果我们能够对每一步进行评价，得到相应的回报函数，那么就好办了，我们只需要找到一条回报值最大的路径（每步的回报之和最大），就认为是最佳的路径。

     增强学习在很多领域已经获得成功应用，比如自动直升机，机器人控制，手机网络路由，市场决策，工业控制，高效网页索引等。

     接下来，先介绍一下马尔科夫决策过程（MDP，Markov decision processes）。

1. 马尔科夫决策过程

     一个马尔科夫决策过程由一个五元组构成

     * S表示状态集（states）。（比如，在自动直升机系统中，直升机当前位置坐标组成状态集）

     * A表示一组动作（actions）。（比如，使用控制杆操纵的直升机飞行方向，让其向前，向后等）

     * 是状态转移概率。S中的一个状态到另一个状态的转变，需要A来参与。表示的是在当前状态下，经过作用后，会转移到的其他状态的概率分布情况（当前状态执行a后可能跳转到很多状态）。

     * 是阻尼系数（discount factor）

     * ，R是回报函数（reward function），回报函数经常写作S的函数（只与S有关），这样的话，R重新写作。

    MDP的动态过程如下：某个agent的初始状态为，然后从A中挑选一个动作执行，执行后，agent按概率随机转移到了下一个状态，。然后再执行一个动作，就转移到了，接下来再执行…，我们可以用下面的图表示整个过程

    如果对HMM有了解的话，理解起来比较轻松。

    我们定义经过上面转移路径后，得到的回报函数之和如下

    如果R只和S有关，那么上式可以写作

    我们的目标是选择一组最佳的action，使得全部的回报加权和期望最大。

    从上式可以发现，在t时刻的回报值被打了的折扣，是一个逐步衰减的过程，越靠后的状态对回报和影响越小。最大化期望值也就是要将大的尽量放到前面，小的尽量放到后面。

    已经处于某个状态s时，我们会以一定策略来选择下一个动作a执行，然后转换到另一个状态s’。我们将这个动作的选择过程称为策略（policy），每一个policy其实就是一个状态到动作的映射函数。给定也就给定了，也就是说，知道了就知道了每个状态下一步应该执行的动作。

    我们为了区分不同的好坏，并定义在当前状态下，执行某个策略后，出现的结果的好坏，需要定义值函数（value function）也叫折算累积回报（discounted cumulative reward）

    可以看到，在当前状态s下，选择好policy后，值函数是回报加权和期望。这个其实很容易理解，给定也就给定了一条未来的行动方案，这个行动方案会经过一个个的状态，而到达每个状态都会有一定回报值，距离当前状态越近的其他状态对方案的影响越大，权重越高。这和下象棋差不多，在当前棋局下，不同的走子方案是，我们评价每个方案依靠对未来局势（,,…）的判断。一般情况下，我们会在头脑中多考虑几步，但是我们会更看重下一步的局势。

    从递推的角度上考虑，当期状态s的值函数V，其实可以看作是当前状态的回报R(s)和下一状态的值函数V’之和，也就是将上式变为：

    然而，我们需要注意的是虽然给定后，在给定状态s下，a是唯一的，但可能不是多到一的映射。比如你选择a为向前投掷一个骰子，那么下一个状态可能有6种。再由Bellman等式，从上式得到

    s’表示下一个状态。

    前面的R(s)称为立即回报（immediate reward），就是R(当前状态)。第二项也可以写作，是下一状态值函数的期望值，下一状态s’符合分布。

    可以想象，当状态个数有限时，我们可以通过上式来求出每一个s的V（终结状态没有第二项V(s’)）。如果列出线性方程组的话，也就是|S|个方程，|S|个未知数，直接求解即可。

    当然，我们求V的目的就是想找到一个当前状态s下，最优的行动策略，定义最优的V*如下：

    就是从可选的策略中挑选一个最优的策略（discounted rewards最大）。

    上式的Bellman等式形式如下：

    第一项与无关，所以不变。第二项是一个就决定了每个状态s的下一步动作a，执行a后，s’按概率分布的回报概率和的期望。

    如果上式还不好理解的话，可以参考下图：

    定义了最优的V*，我们再定义最优的策略如下：

    选择最优的，也就确定了每个状态s的下一步最优动作a。

    根据以上式子，我们可以知道

    解释一下就是当前状态的最优的值函数V*，是由采用最优执行策略的情况下得出的，采用最优执行方案的回报显然要比采用其他的执行策略要好。

    这里需要注意的是，如果我们能够求得每个s下最优的a，那么从全局来看，的映射即可生成，而生成的这个映射是最优映射，称为。针对全局的s，确定了每一个s的下一个行动a，不会因为初始状态s选取的不同而不同。

2. 值迭代和策略迭代法

    上节我们给出了迭代公式和优化目标，这节讨论两种求解有限状态MDP具体策略的有效算法。这里，我们只针对MDP是有限状态、有限动作的情况，。

    * 值迭代法

    值迭代策略利用了上节中公式（2）

    内循环的实现有两种策略：

    1、 同步迭代法

    拿初始化后的第一次迭代来说吧，初始状态所有的V(s)都为0。然后对所有的s都计算新的V(s)=R(s)+0=R(s)。在计算每一个状态时，得到新的V(s)后，先存下来，不立即更新。待所有的s的新值V(s)都计算完毕后，再统一更新。

这样，第一次迭代后，V(s)=R(s)。

    2、 异步迭代法

    与同步迭代对应的就是异步迭代了，对每一个状态s，得到新的V(s)后，不存储，直接更新。这样，第一次迭代后，大部分V(s)>R(s)。

    不管使用这两种的哪一种，最终V(s)会收敛到V*(s)。知道了V*后，我们再使用公式（3）来求出相应的最优策略，当然可以在求V*的过程中求出。

    * 策略迭代法

    值迭代法使V值收敛到V*，而策略迭代法关注，使收敛到。

    (a)步中的V可以通过之前的Bellman等式求得

    这一步会求出所有状态s的。

    (b)步实际上就是根据(a)步的结果挑选出当前状态s下，最优的a，然后对做更新。

    对于值迭代和策略迭代很难说哪种方法好，哪种不好。对于规模比较小的MDP来说，策略一般能够更快地收敛。但是对于规模很大（状态很多）的MDP来说，值迭代比较容易（不用求线性方程组）。

3. MDP中的参数估计

    在之前讨论的MDP中，我们是已知状态转移概率和回报函数R(s)的。但在很多实际问题中，这些参数不能显式得到，我们需要从数据中估计出这些参数（通常S、A和是已知的）。

    假设我们已知很多条状态转移路径如下：

    其中，是i时刻，第j条转移路径对应的状态，是状态时要执行的动作。每个转移路径中状态数是有限的，在实际操作过程中，每个转移链要么进入终结状态，要么达到规定的步数就会终结。

如果我们获得了很多上面类似的转移链（相当于有了样本），那么我们就可以使用最大似然估计来估计状态转移概率。

    分子是从s状态执行动作a后到达s’的次数，分母是在状态s时，执行a的次数。两者相除就是在s状态下执行a后，会转移到s’的概率。

    为了避免分母为0的情况，我们需要做平滑。如果分母为0，则令，也就是说当样本中没有出现过在s状态下执行a的样例时，我们认为转移概率均分。

    上面这种估计方法是从历史数据中估计，这个公式同样适用于在线更新。比如我们新得到了一些转移路径，那么对上面的公式进行分子分母的修正（加上新得到的count）即可。修正过后，转移概率有所改变，按照改变后的概率，可能出现更多的新的转移路径，这样会越来越准。

    同样，如果回报函数未知，那么我们认为R(s)为在s状态下已经观测到的回报均值。

    当转移概率和回报函数估计出之后，我们可以使用值迭代或者策略迭代来解决MDP问题。比如，我们将参数估计和值迭代结合起来（在不知道状态转移概率情况下）的流程如下：

    在(b)步中我们要做值更新，也是一个循环迭代的过程，在上节中，我们通过将V初始化为0，然后进行迭代来求解V。嵌套到上面的过程后，如果每次初始化V为0，然后迭代更新，就会很慢。一个加快速度的方法是每次将V初始化为上一次大循环中得到的V。也就是说V的初值衔接了上次的结果。

4. 总结

    首先我们这里讨论的MDP是非确定的马尔科夫决策过程，也就是回报函数和动作转换函数是有概率的。在状态s下，采取动作a后的转移到的下一状态s’也是有概率的。再次，在增强学习里有一个重要的概念是Q学习，本质是将与状态s有关的V(s)转换为与a有关的Q。强烈推荐Tom Mitchell的《机器学习》最后一章，里面介绍了Q学习和更多的内容。最后，里面提到了Bellman等式，在《算法导论》中有Bellman-Ford的动态规划算法，可以用来求解带负权重的图的最短路径，里面最值得探讨的是收敛性的证明，非常有价值。有学者仔细分析了增强学习和动态规划的关系。

    这篇是ng讲义中最后一篇了，还差一篇learning theory，暂时不打算写了，感觉对learning的认识还不深。等到学习完图模型和在线学习等内容后，再回过头来写learning theory吧。另外，ng的讲义中还有一些数学基础方面的讲义比如概率论、线性代数、凸优化、高斯过程、HMM等，都值得看一下。