11 SMO优化算法（Sequential minimal optimization）

SMO算法由Microsoft Research的John C. Platt在1998年提出，并成为最快的二次规划优化算法，特别针对线性SVM和数据稀疏时性能更优。关于SMO最好的资料就是他本人写的《Sequential Minimal Optimization A Fast Algorithm for Training Support Vector Machines》了。

我拜读了一下，下面先说讲义上对此方法的总结。

首先回到我们前面一直悬而未解的问题，对偶函数最后的优化问题：

要解决的是在参数上求最大值W的问题，至于和都是已知数。C由我们预先设定，也是已知数。

按照坐标上升的思路，我们首先固定除以外的所有参数，然后在上求极值。等一下，这个思路有问题，因为如果固定以外的所有参数，那么将不再是变量（可以由其他值推出），因为问题中规定了

因此，我们需要一次选取两个参数做优化，比如和，此时可以由和其他参数表示出来。这样回带到W中，W就只是关于的函数了，可解。

这样，SMO的主要步骤如下：

意思是，第一步选取一对和，选取方法使用启发式方法（后面讲）。第二步，固定除和之外的其他参数，确定W极值条件下的，由表示。

SMO之所以高效就是因为在固定其他参数后，对一个参数优化过程很高效。

下面讨论具体方法：

假设我们选取了初始值满足了问题中的约束条件。接下来，我们固定，这样W就是和的函数。并且和满足条件：

由于都是已知固定值，因此为了方面，可将等式右边标记成实数值。

当和异号时，也就是一个为1，一个为-1时，他们可以表示成一条直线，斜率为1。如下图：

横轴是，纵轴是，和既要在矩形方框内，也要在直线上，因此

，

同理，当和同号时，

，

然后我们打算将用表示：

然后反代入W中，得

展开后W可以表示成。其中a,b,c是固定值。这样，通过对W进行求导可以得到，然而要保证满足，我们使用表示求导求出来的，然而最后的，要根据下面情况得到：

这样得到后，我们可以得到的新值。

下面进入Platt的文章，来找到启发式搜索的方法和求b值的公式。

这边文章使用的符号表示有点不太一样，不过实质是一样的，先来熟悉一下文章中符号的表示。

文章中定义特征到结果的输出函数为

与我们之前的实质是一致的。

原始的优化问题为：

求导得到：

经过对偶后为：

s.t. 

这里与W函数是一样的，只是符号求反后，变成求最小值了。和是一样的，都表示第i个样本的输出结果（1或-1）。

经过加入松弛变量后，模型修改为：

由公式（7）代入（1）中可知，

这个过程和之前对偶过程一样。

重新整理我们要求的问题为：

与之对应的KKT条件为：

这个KKT条件说明，在两条间隔线外面的点，对应前面的系数为0，在两条间隔线里面的对应为C，在两条间隔线上的对应的系数在0和C之间。

将我们之前得到L和H重新拿过来：

之前我们将问题进行到这里，然后说将用表示后代入W中，这里将代入中，得

其中

这里的和代表某次迭代前的原始值，因此是常数，而和是变量，待求。公式（24）中的最后一项是常数。

由于和满足以下公式

因为的值是固定值，在迭代前后不会变。

那么用s表示，上式两边乘以时，变为：

其中

代入（24）中，得

这时候只有是变量了，求导

如果的二阶导数大于0（凹函数），那么一阶导数为0时，就是极小值了。

假设其二阶导数为0（一般成立），那么上式化简为：

将w和v代入后，继续化简推导，得（推导了六七行推出来了）

我们使用来表示：

通常情况下目标函数是正定的，也就是说，能够在直线约束方向上求得最小值，并且。

那么我们在（30）两边都除以可以得到

这里我们使用表示优化后的值，是迭代前的值，。

与之前提到的一样不是最终迭代后的值，需要进行约束：

那么

在特殊情况下，可能不为正，如果核函数K不满足Mercer定理，那么目标函数可能变得非正定，可能出现负值。即使K是有效的核函数，如果训练样本中出现相同的特征x，那么仍有可能为0。SMO算法在不为正值的情况下仍有效。为保证有效性，我们可以推导出就是的二阶导数，，没有极小值，最小值在边缘处取到（类比），时更是单调函数了，最小值也在边缘处取得，而的边缘就是L和H。这样将和分别代入中即可求得的最小值，相应的还是也可以知道了。具体计算公式如下：

至此，迭代关系式出了b的推导式以外，都已经推出。

b每一步都要更新，因为前面的KKT条件指出了和的关系，而和b有关，在每一步计算出后，根据KKT条件来调整b。

b的更新有几种情况：

来自罗林开的ppt

这里的界内指，界上就是等于0或者C了。

前面两个的公式推导可以根据

和对于有的KKT条件推出。

这样全部参数的更新公式都已经介绍完毕，附加一点，如果使用的是线性核函数，我们就可以继续使用w了，这样不用扫描整个样本库来作内积了。

w值的更新方法为：

根据前面的

公式推导出。

12 SMO中拉格朗日乘子的启发式选择方法

终于到了最后一个问题了，所谓的启发式选择方法主要思想是每次选择拉格朗日乘子的时候，优先选择样本前面系数的作优化（论文中称为无界样例），因为在界上（为0或C）的样例对应的系数一般不会更改。

这条启发式搜索方法是选择第一个拉格朗日乘子用的，比如前面的。那么这样选择的话，是否最后会收敛。可幸的是Osuna定理告诉我们只要选择出来的两个中有一个违背了KKT条件，那么目标函数在一步迭代后值会减小。违背KKT条件不代表，在界上也有可能会违背。是的，因此在给定初始值=0后，先对所有样例进行循环，循环中碰到违背KKT条件的（不管界上还是界内）都进行迭代更新。等这轮过后，如果没有收敛，第二轮就只针对的样例进行迭代更新。

在第一个乘子选择后，第二个乘子也使用启发式方法选择，第二个乘子的迭代步长大致正比于，选择第二个乘子能够最大化。即当为正时选择负的绝对值最大的，反之，选择正值最大的。

最后的收敛条件是在界内（）的样例都能够遵循KKT条件，且其对应的只在极小的范围内变动。

至于如何写具体的程序，请参考John C. Platt在论文中给出的伪代码。

13 总结

这份SVM的讲义重点概括了SVM的基本概念和基本推导，中规中矩却又让人醍醐灌顶。起初让我最头疼的是拉格朗日对偶和SMO，后来逐渐明白拉格朗日对偶的重要作用是将w的计算提前并消除w，使得优化函数变为拉格朗日乘子的单一参数优化问题。而SMO里面迭代公式的推导也着实让我花费了不少时间。

对比这么复杂的推导过程，SVM的思想确实那么简单。它不再像logistic回归一样企图去拟合样本点（中间加了一层sigmoid函数变换），而是就在样本中去找分隔线，为了评判哪条分界线更好，引入了几何间隔最大化的目标。

之后所有的推导都是去解决目标函数的最优化上了。在解决最优化的过程中，发现了w可以由特征向量内积来表示，进而发现了核函数，仅需要调整核函数就可以将特征进行低维到高维的变换，在低维上进行计算，实质结果表现在高维上。由于并不是所有的样本都可分，为了保证SVM的通用性，进行了软间隔的处理，导致的结果就是将优化问题变得更加复杂，然而惊奇的是松弛变量没有出现在最后的目标函数中。最后的优化求解问题，也被拉格朗日对偶和SMO算法化解，使SVM趋向于完美。

另外，其他很多议题如SVM背后的学习理论、参数选择问题、二值分类到多值分类等等还没有涉及到，以后有时间再学吧。其实朴素贝叶斯在分类二值分类问题时，如果使用对数比，那么也算作线性分类器。