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越狱（快速幂）

2024-11-15 09:08:01   203人阅读

题目：

　监狱有连续编号为1...N的N个房间，每个房间关押一个犯人，有M种宗教，每个犯人可能信仰其中一种。如果
相邻房间的犯人的宗教相同，就可能发生越狱，求有多少种状态可能发生越狱

Input

  输入两个整数M，N.1<=M<=10^8,1<=N<=10^12

Output

  可能越狱的状态数，模100003取余

Sample Input

 2 3

Sample Output

  6

Hint

  6种状态为(000)(001)(011)(100)(110)(111)

分析：

n个人选择m种宗教有m^n种方法；

如果不能越狱，相邻的两个人就不能信仰同样的宗教，就有m*（(m-1)^(n-1))种方法；

例如：

3个人，2种宗教，有8种方法；

不能越狱的按排有C(2,1)*C(1,1)*C(1,1),一共2种方法

所以能够越狱的方案数就是6种；

 

快速幂：

 

快速幂的目的就是做到快速求幂，假设我们要求a^b,按照朴素算法就是把a连乘b次，这样一来时间复杂度是O(b)也即是O(n)级别，快速幂能做到O(logn)，快了好多好多。它的原理如下：

 

　　假设我们要求a^b，那么其实b是可以拆成二进制的，该二进制数第i位的权为2^(i-1)，例如当b==11时 a^11=a^(2^0+2^1+2^3)

　11的二进制是1011，11 = 23×1 + 22×0 + 21×1 + 2o×1，因此，我们将a11转化为算 a^(2^0)*a^(2^1)*a^(2^3) ，

  看出来快的多了吧原来算11次，现在算三次，但是这三项貌似不好求的样子....不急，下面会有详细解释。

　　由于是二进制，很自然地想到用位运算这个强大的工具： &  和 >>  
　　&运算通常用于二进制取位操作，例如一个数 & 1 的结果就是取二进制的最末位。还可以判断奇偶x&1==0为偶，x&1==1为奇。
　　>>运算比较单纯,二进制去掉最后一位。
 1 int poww(int a,int b){
 2     int ans=1,base=a;
 3     while(b!=0){
 4         if(b&1!=0)
 5         　　ans*=base;
 6         base*=base;
 7         b>>=1;
 8　　 }
 9     return ans;
10 }

　　代码很短，死记也可行，但最好还是理解一下吧，其实也很好理解，以b==11为例，b=>1011,二进制从右向左算，但乘出来的顺序是 a^(2^0)*a^(2^1)*a^(2^3)，是从左向右的。我们不断的让base*=base目的即是累乘，以便随时对ans做出贡献。

　　其中要理解base*=base这一步，看：：：base*base==base^2,下一步再乘，就是base^2*base^2==base^4,然后同理  base^4*base4=base^8,,,,,see?是不是做到了base-->base^2-->base^4-->base^8-->base^16-->base^32.......指数正是 2^i 啊，再看上  面的例子，a11= a^(2^0)*a^(2^1)*a^(2^3)，这三项是不是完美解决了，，嗯，快速幂就是这样。

　　顺便啰嗦一句，由于指数函数是爆炸增长的函数，所以很有可能会爆掉int的范围，根据题意决定是用 long long啊还是unsigned int啊还是mod某个数啊自己看着办。

 

AC代码：

 

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
typedef long long ll;
using namespace std;
const ll MOD=100003;
ll ksm(ll a,ll b)
{
    ll sum=1;
    while (b!=0)
    {
        if (b&1)
            sum=sum*a%MOD;
            a=a*a%MOD;
            b>>=1;
    }
    return sum;
}
int main()
{
   ll m,n,t1,t2;
   while (scanf("%lld%lld",&m,&n)==2)
   {
       t1=ksm(m,n);
       t2=m*ksm(m-1,n-1);
       printf("%lld\n",((t1-t2)%MOD+MOD)%MOD);
   }

    return 0;
}

 

 

 

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