当前任务

stiffness matrix 究竟怎么算？

什么是tangent stiffnes matrix？

在Exact Corotational Linear FEM Stiffness Matrix之中

linear stiffness matrix     Krest    是指小变形的情形下，节点的力f = Krest * 节点位移x

tangent stiffness matrix K = df / dx 定义为f对位移x的雅可比矩阵，表示当前位置下，微小变形与节点力的关系，当元素发生显著旋转的时候，tangent stiffness matrix为准确值，对于非线性模型，并不能简单通过用K*x算出当前位置的准确节点力

在此篇论文中，给出一种算 K的准确方法

在Interactive Virtual Material中

前述的linear stiffness matrix 被简单称为stiffness matrix， 记为Ke

对于旋转的情形，其给出一种简单的近似办法，K' = R * Ke * RT， 这样的近似称为 rotated stiffness matrix

为什么K'是一种近似？

假设四面体经历了一个旋转R，之后再发生变形，则

f = R * Ke * (RT * x - x0)

此式先把新位置映射回旋转前坐标系，再计算顶点位移RT * x - x0，乘以Ke得到力，最后把力映射会旋转之后的坐标系

因为准确的 K = df / dx

但R 实际上与x 有关

因此如果认为R是常数，推出 K' = df / dx =  R * Ke * RT， 此时的K’必定为近似值

现在的任务是要找到 Krest/Ke的明确定义

在Interactive Virtual Material中， 定义Ke = Ve * BeT * E Be

此式估计是在线性小变形的情形下推出的，此式与一些工程力学的有限元分析给出的公式符合。

（具体是怎么推导的？胡克定律？）

最后一个问题，就是K = df /dx 是否与由能量密度->P->f这种思路得到的结果一样？

估计可以。

三种stiffness matrix 的对比

11月22日