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POJ1330Nearest Common Ancestors

2024-11-10 19:46:02   203人阅读

题意

第一行输入T，有T组数据。
对于每组数据，给出一棵树，先输入n，然后n-1行，每行两个数a，b，表示a是b的父亲；第n行输入两个数A,B表示询问A和B的最近公共祖先。

题解

LCA模板题。建议先学学LCA

 

有两种方法，分别是Tarjan和倍增，这里说一说倍增。
LCA_倍增是LCA的在线算法，时间和空间复杂度分别是O((n+q)log n)和O(n log n)。
对于这个算法，我们从最暴力的算法开始：
①如果a和b深度不同，先把深度调浅，使他变得和浅的那个一样
②现在已经保证了a和b的深度一样，所以我们只要把两个一起一步一步往上移动，直到他们到达同一个节点，也就是他们的最近公共祖先了。

O(nq)的暴力实现

#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <vector>
using namespace std;
const int N=10000+5;
vector <int> son[N];
int T,n,depth[N],fa[N],in[N],a,b;
void dfs(int prev,int rt){
    depth[rt]=depth[prev]+1;
    fa[rt]=prev;
    for (int i=0;i<son[rt].size();i++)
        dfs(rt,son[rt][i]);
}
int LCA(int a,int b){
    if (depth[a]>depth[b])
        swap(a,b);
    while (depth[b]>depth[a])
        b=fa[b];
    while (a!=b)
        a=fa[a],b=fa[b];
    return a;
}
int main(){
    scanf("%d",&T);
    while (T--){
        scanf("%d",&n);
        for (int i=1;i<=n;i++)
            son[i].clear();
        memset(in,0,sizeof in);
        for (int i=1;i<n;i++){
            scanf("%d%d",&a,&b);
            son[a].push_back(b);
            in[b]++;
        }
        depth[0]=-1;
        int rt=0;
        for (int i=1;i<=n&&rt==0;i++)
            if (in[i]==0)
                rt=i;
        dfs(0,rt);
        scanf("%d%d",&a,&b);
        printf("%d\n",LCA(a,b));
    }
    return 0;
}

 

而实际上，一步一步往上移动太慢，我们可以做一个预处理：
fa[i][j]表示节点i往上走2^j次所到达的祖先，那么不难写出转移方程：
fa[i][0]=father[i],fa[i][j]=fa[fa[i][j-1]][j-1]
然后在求LCA的时候，有这样一个性质：（假设a和b深度一样）
设anst[x][y]为节点x网上走y步到达的祖先，对于一个k，如果anst[a][k]==anst[b][k],那么对于k‘(k‘>k)，一定有anst[a][k‘]==anst[b][k‘]；对于一个k，如果anst[a][k]!=anst[b][k],那么对于k‘(k‘<k)，一定有anst[a][k‘]!=anst[b][k‘],而且LCA(a,b)=LCA(anst[a][k],anst[b][k])。
于是求法就渐渐的现行了：
1. 把a和b移到同一深度（设depth[x]为节点x的深度），假设depth[a]<=depth[b],所以我们的目的是把b向上移动i=(depth[b]-depth[a])层，那么，由于之前有预处理的fa数组，我们把i写成二进制形势，然后利用fa数组来在log n的复杂度中完成；
2. 寻找a和b的LCA下一层的两个祖先。利用之前的那个性质，再利用倍增，如果a和b的第2^k个祖先不是同一个，那么把a改为fa[a][k],b改为fa[b][k],k减1;否则直接k减1；当然在这之前要实现确定k的最大值，从大往小处理下去。最终的结果就是fa[a][0]或者fa[b][0]。
注意点：如果a和b在调节深度之后已经是同一个祖先的，那么直接返回a或者b。

LCA倍增算法&POJ1330标程

 

#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <vector>
using namespace std;
const int N=10000+5;
vector <int> son[N];
int T,n,depth[N],fa[N][17],in[N],a,b;
void dfs(int prev,int rt){
    depth[rt]=depth[prev]+1;
    fa[rt][0]=prev;
    for (int i=1;(1<<i)<=depth[rt];i++)
        fa[rt][i]=fa[fa[rt][i-1]][i-1];
    for (int i=0;i<son[rt].size();i++)
        dfs(rt,son[rt][i]);
}
int LCA(int a,int b){
    if (depth[a]>depth[b])
        swap(a,b);
    for (int i=depth[b]-depth[a],j=0;i>0;i>>=1,j++)
        if (i&1)
            b=fa[b][j];
    if (a==b)
        return a;
    int k;
    for (k=0;(1<<k)<=depth[a];k++);
    for (;k>=0;k--)
        if ((1<<k)<=depth[a]&&fa[a][k]!=fa[b][k])
            a=fa[a][k],b=fa[b][k];
    return fa[a][0];
}
int main(){
    scanf("%d",&T);
    while (T--){
        scanf("%d",&n);
        for (int i=1;i<=n;i++)
            son[i].clear();
        memset(in,0,sizeof in);
        for (int i=1;i<n;i++){
            scanf("%d%d",&a,&b);
            son[a].push_back(b);
            in[b]++;
        }
        depth[0]=-1;
        int rt=0;
        for (int i=1;i<=n&&rt==0;i++)
            if (in[i]==0)
                rt=i;
        dfs(0,rt);
        scanf("%d%d",&a,&b);
        printf("%d\n",LCA(a,b));
    }
    return 0;
}

 

POJ1330Nearest Common Ancestors


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