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求任意多边形的面积(转)

给定多边形的顶点坐标(有序),让你来求这个多边形的面积,你会怎么做?
我们知道,任意多边形都可以分割为N个三角形,所以,如果以这为突破点,那么我们第一步就是把给定的多边形,分割为数个三角形,分别求面积,最后累加就可以了,把多边形分割为三角形的方式多种多样,在这里,我们按照如下图的方法分割:

图1

S点作为起始点(点1),a->e依次作为点2,3……。
一个三角形的面积是怎样的呢?
根据线性代数的知识,我们有如下的三角形面积公式,称之为有向面积(signed area):

将这个行列式以第三列展开可以得到:

这就是以点1、2、3构成的三角形的有向面积(点如果是顺时针给出,有向面积为负,逆时针给出,有向面积为正),那么继续我们的工作,通过三角形的面积公式,来得到多边形的面积公式:
对于图1而言,多边形的面积就是:
S(1->6)=S(1,2,3)+S(1,3,4)+S(1,4,5)+S(1,5,6)
这里我们不免有些疑问,第一,图1所给出的是凸多边形,那这种算法对于非凸多边形是否同样适用呢?比如下面这个最简单的凸多边形的图形:

图2

用刚才的划分方法的话,就会出现一个诡异的问题,那就是有一个三角形出现在了图形的外面,而另外一个又超出了多边形的范围(划分为了Sab,Sbc两个图形),那么这样再用刚才的公式求面积,结果还是正确的么?
S(1->4)=S(1,2,3)+S(1,3,4)
先公布结论,这个式子是正确的,等等,为什么?还记得刚才我提到了那个“有向面积”的概念么?忘了的话,请回头看看加重了的字。
请注意从图中看,Sab点为顺时针排列,Sbc点为逆时针排列,面积从数值上就是从Sab这个超过范围的大三角形中去掉Sbc这个小三角形,最后的结果神奇的就是多边形Sabc的面积,那么这个结论能否推广到任意多边形呢?

图3

在这里不做证明,下面给出的公式,就是任意多边形的面积公式:

例题:

Input

输入数据包含多个测试实例,每个测试实例占一行,每行的开始是一个整数n(3<=n<=100),它表示多边形的边数(当然也是顶点数),然后是按照逆时针顺序给出的n个顶点的坐标(x1, y1, x2, y2... xn, yn),为了简化问题,这里的所有坐标都用整数表示。 
输入数据中所有的整数都在32位整数范围内,n=0表示数据的结束,不做处理。 
 

Output

对于每个测试实例,请输出对应的多边形面积,结果精确到小数点后一位小数。 
每个实例的输出占一行。 
 

Sample Input

3 0 0 1 0 0 14 1 0 0 1 -1 0 0 -10
 

Sample Output

0.52.0
 

 代码:

#include<cstdio>#include<cmath>int main(){     int n;     int p[110][2];     while(scanf("%d",&n)&& n){          for(int i = 0; i < n; i ++)          scanf("%d%d",&p[i][0],&p[i][1]);          p[n][0] = p[0][0];          p[n][1] = p[0][1];          int s = 0;          for(int i = 0; i < n; i ++){               s += (p[i][0]*p[i+1][1] - p[i+1][0]*p[i][1]);          }          printf("%.1lf\n",s/2.0);     }return 0;}
View Code

注意上面的公式是循环一周的,最后Xn*Y1-X1*Yn也要加进去 = =