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获取不存在于某集合的大小至少为某整数的最小整数

题:获取大小至少为startNo,并且不存在于某个不确定是否有序的整数数组Array中的,最小整数。

如:不存在于2,6,8,11中的不小于3的最小整数为3。

 

如下测试代码,未发现实现不对。。。

    public static final String timeDifferenceFormats[] = { "天", "小时", "分钟", "秒" };    public static final String timeDifferenceFormat = "+[d天][k小时][m分钟][s秒]";    public static StringBuilder formatTimeDifference(String fmts[], long differenceInMillis) {        StringBuilder sb = new StringBuilder();        long seconds = differenceInMillis / 1000;        if (differenceInMillis > 60 * 1000) {            long minutes = differenceInMillis / (60 * 1000);            if (differenceInMillis > 60 * 60 * 1000) {                long hours = differenceInMillis / (60 * 60 * 1000);                if (differenceInMillis > 24 * 60 * 60 * 1000) {                    long days = differenceInMillis / (24 * 60 * 60 * 1000);                    sb.append(days).append("天");                }                sb.append(hours % 24).append("小时");            }            sb.append(minutes % 60).append("分钟");        }        return sb.append(seconds % 60).append("秒");    }    public static void main(String[] args) {        long now = System.currentTimeMillis();        System.out.println(now);        String[] fmts = { "天", "小时", "分钟", "秒" };        System.out.println(formatTimeDifference(fmts, 62000));        java.util.Calendar calendar = java.util.Calendar.getInstance();        calendar.setTimeInMillis(now);        System.out.println(calendar.get(java.util.Calendar.DAY_OF_YEAR));        System.out.println(new java.text.SimpleDateFormat("D天k小时m分钟s秒").format(new java.util.Date(now)));        DecimalFormat df = new DecimalFormat(",###");        System.out.println(df.format(now));        int[] data1 = { 8899, 9, 2, 11, 1, 100 }; // 1, 2, 9, 11, 100, 8899        int[] data2 = { 1, 3, 4, 9, 6, 2 }; // 1, 2, 3, 4, 6, 9        int[] data3 = { 3 }; // 3        int[] data4 = { 3, 6 }; // 3, 6        System.out.println("1. min cave number = " + findMinCaveNumber(2, data1, false)); //3        System.out.println("2. min cave number = " + findMinCaveNumber(2, data2, false)); //5        System.out.println("3. min cave number = " + findMinCaveNumber(2, data3, false)); //2        System.out.println("4. min cave number = " + findMinCaveNumber(5, data4, true)); //5    }    /**     * data[leftIndex] <= start < data[rightIndex]     *      * @param start     *            起始基值     * @param data     * @param leftIndex     * @param rightIndex     * @return data[leftIndex] + 1 or start      */    private static int findMinCaveNumberBetween(int startNo, int[] data, int leftIndex, int rightIndex) {        //前后两个数时        if (rightIndex - leftIndex <= 1) {            int expectedCaveNumber = data[leftIndex] + 1;            return expectedCaveNumber < startNo ? startNo : expectedCaveNumber;        }        int midIndex = (leftIndex + rightIndex) / 2;        if (startNo < data[midIndex] && data[midIndex] - data[leftIndex] > midIndex - leftIndex) {            return findMinCaveNumberBetween(startNo, data, leftIndex, midIndex);        }        return findMinCaveNumberBetween(startNo, data, midIndex, rightIndex);    }    /**     *      * @param data     * @param start     *            起始基值     * @param isOrderly     *            data是有序吗     * @return     */    private static int findMinCaveNumber(int start, int[] data, boolean isOrderly) {        if (data.length == 0) {            return start;        }        if (!isOrderly) {            Arrays.sort(data);        }        int min = data[0], max = data[data.length - 1];        if (start < min || start > max) {            return start;        } else if (start == max || max - min == data.length -1){            return start + 1;        }        else {            //min <= start < max && max - min >= data.length (data.length must >= 2)            return findMinCaveNumberBetween(start, data, 0, data.length -1);        }    }

 

1405643181082
1分钟2秒
199
199天8小时26分钟21秒
1,405,643,181,082
1. min cave number = 3
2. min cave number = 5
3. min cave number = 4
4. min cave number = 5

 

 

顺便记录网上一个,漏一个整数的连续集合问题:

找出所缺的整数

 

题目:数组A中包含n-1个[0,n-1]内的不同整数,n个数中只有一个数不在所给的数组中。设计一个找到这个数的O(n)时间的算法。除了数组A自身以外,只能利用O(1)的额外空间。

与之相似的另一个题目见《算法导论》思考题4-2:问题同上,但在这里,不能由一个单一操作来访问A中的一个完整整数,因为A中整数是以二进制表示的。我们所能用的唯一操作就是“取A[i]的第j位”,这个操作所花时间为常数。题目要求:证明如果仅用此操作,仍能在O(n)时间内找出所缺整数。

第一个题目可以想出以下几种方法:

解法一:[0,n-1]这个区间中所有整数的和不变,为n*(n-1)/2,对数组A中的所有元素求和,设为s,则丢失的整数就是n*(n-1)/2 – s。

解法二:异或运算。异或是个非常神奇的运算。设所缺的整数为k,[0,n-1]区间中所有n个数的异或结果为s(n),异或运算满足交换率和结合率,所以s(n)可以被看作[0,n-1]中去掉k外的另外n-1个数的异或结果s(n-1)和k的异或。也即:s(n)=s(n-1)^k,我们给等式两边同时异或s(n-1),等式变成了:s(n-1)^s(n)=s(n-1)^s(n-1)^k=k。而且,很明显s(n-1)其实就是数组A中所有元素的异或。所以,解法二就是:求出[0,n-1]内所有整数的异或结果s,再求出数组A中所有元素的异或结果t,所缺的整数就是s异或t。

解法三:因为A自身也有n-1个位置。可以把A作为一个散列表,这样做虽然能够得到结果,但是破坏了数组A。

至于《算法导论》思考题4-2的解法,在《算法艺术与信息学竞赛》上有解答。思路简述:自然数顺序的二进制表示最低位总是0和1交替出现,所以,首先读取数组A中所有元素的最低二进制位,如果得到的0和1的个数一样多,则说明所缺整数的最低二进制位为0,否则,哪个少,所缺整数的最低二进制位就是哪个。比如,我们得到所缺整数的最低二进制位为0,那么,说明数组A中最低二进制位为1的那些整数已经与此题无干,只需要在那些最低位为0的整数中找所缺整数。所以,时间复杂度是:T(n)=T(n/2)+n,计算:

 

 

对n的上取整或下取整不影响时间复杂度。即T(n)=O(n)。