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最小生成树-Prim算法

2024-07-02 15:06:18   245人阅读

Prim算法

1.概览

普里姆算法（Prim算法），图论中的一种算法，可在加权连通图里搜索最小生成树。意即由此算法搜索到的边子集所构成的树中，不但包括了连通图里的所有顶点（英语：Vertex (graph theory)），且其所有边的权值之和亦为最小。该算法于1930年由捷克数学家沃伊捷赫·亚尔尼克（英语：Vojtěch Jarník）发现；并在1957年由美国计算机科学家罗伯特·普里姆（英语：Robert C. Prim）独立发现；1959年，艾兹格·迪科斯彻再次发现了该算法。因此，在某些场合，普里姆算法又被称为DJP算法、亚尔尼克算法或普里姆－亚尔尼克算法。

 

2.算法简单描述

1).输入：一个加权连通图，其中顶点集合为V，边集合为E；

2).初始化：Vnew = {x}，其中x为集合V中的任一节点（起始点），Enew = {},为空；

3).重复下列操作，直到Vnew = V：

a.在集合E中选取权值最小的边<u, v>，其中u为集合Vnew中的元素，而v不在Vnew集合当中，并且v∈V（如果存在有多条满足前述条件即具有相同权值的边，则可任意选取其中之一）；

b.将v加入集合Vnew中，将<u, v>边加入集合Enew中；

4).输出：使用集合Vnew和Enew来描述所得到的最小生成树。

 

下面对算法的图例描述

图例 说明 不可选 可选 已选（Vnew）
 

此为原始的加权连通图。每条边一侧的数字代表其权值。 - - -

顶点D被任意选为起始点。顶点A、B、E和F通过单条边与D相连。A是距离D最近的顶点，因此将A及对应边AD以高亮表示。 C, G A, B, E, F D
 

下一个顶点为距离D或A最近的顶点。B距D为9，距A为7，E为15，F为6。因此，F距D或A最近，因此将顶点F与相应边DF以高亮表示。 C, G B, E, F A, D
算法继续重复上面的步骤。距离A为7的顶点B被高亮表示。 C B, E, G A, D, F
 

在当前情况下，可以在C、E与G间进行选择。C距B为8，E距B为7，G距F为11。E最近，因此将顶点E与相应边BE高亮表示。 无 C, E, G A, D, F, B
 

这里，可供选择的顶点只有C和G。C距E为5，G距E为9，故选取C，并与边EC一同高亮表示。 无 C, G A, D, F, B, E

 顶点G是唯一剩下的顶点，它距F为11，距E为9，E最近，故高亮表示G及相应边EG。 无 G A, D, F, B, E, C

 现在，所有顶点均已被选取，图中绿色部分即为连通图的最小生成树。在此例中，最小生成树的权值之和为39。 无 无 A, D, F, B, E, C, G

 

3.简单证明prim算法

反证法：假设prim生成的不是最小生成树

1).设prim生成的树为G0

2).假设存在Gmin使得cost(Gmin)<cost(G0)   则在Gmin中存在<u,v>不属于G0

3).将<u,v>加入G0中可得一个环，且<u,v>不是该环的最长边(这是因为<u,v>∈Gmin)

4).这与prim每次生成最短边矛盾

5).故假设不成立，命题得证.

 

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<span style=‘font-family: "comic sans ms", sans-serif; font-size: 15px;‘>#define MAX  100000
#define VNUM  10+1                                             //这里没有ID为0的点,so id号范围1~10
 
int edge[VNUM][VNUM]={/*输入的邻接矩阵*/};
int lowcost[VNUM]={0};                                         //记录Vnew中每个点到V中邻接点的最短边
int addvnew[VNUM];                                             //标记某点是否加入Vnew
int adjecent[VNUM]={0};                                        //记录V中与Vnew最邻近的点
 
 
void prim(int start)
{
     int sumweight=0;
     int i,j,k=0;
 
     for(i=1;i<VNUM;i++)                                      //顶点是从1开始
     {
        lowcost[i]=edge[start][i];
        addvnew[i]=-1;                                         //将所有点至于Vnew之外,V之内，这里只要对应的为-1，就表示在Vnew之外
     }
 
     addvnew[start]=0;                                        //将起始点start加入Vnew
     adjecent[start]=start;
                                                  
     for(i=1;i<VNUM-1;i++)                                       
     {
        int min=MAX;
        int v=-1;
        for(j=1;j<VNUM;j++)                                     
        {
            if(addvnew[j]!=-1&&lowcost[j]<min)                 //在Vnew之外寻找最短路径
            {
                min=lowcost[j];
                v=j;
            }
        }
        if(v!=-1)
        {
            printf("%d %d %d\n",adjecent[v],v,lowcost[v]);
            addvnew[v]=0;                                      //将v加Vnew中
 
            sumweight+=lowcost[v];                             //计算路径长度之和
            for(j=1;j<VNUM;j++)
            {
                if(addvnew[j]==-1&&edge[v][j]<lowcost[j])     
                {
                    lowcost[j]=edge[v][j];                     //此时v点加入Vnew 需要更新lowcost
                    adjecent[j]=v;                            
                }
            }
        }
    }
    printf("the minmum weight is %d",sumweight);
}
</span>

　转：　http://www.cnblogs.com/biyeymyhjob/archive/2012/07/30/2615542.html


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