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转自 z55250825 的几篇关于FFT的博文（三）

2024-07-13 05:17:21   224人阅读

     题目大意：给出n个数qi，定义 Fj为

      【BZOJ3527】【Zjoi2014】【力】 - z55250825 - z55250825

    令 Ei=Fi/qi，求Ei。

 
   其实这道题就是看到有FFT模板才觉得有必要学一下的...
   所以实际上就是已经知道题解了... = =。
   【BZOJ3527】【Zjoi2014】【力】 - z55250825 - z55250825

  所以问题就是求这两个多项式相乘的系数。

  这里咱卷积不太熟悉，所以咱们来证明一下这个结论显然还是不错的。
  首先咱们设 f(x)(k) 表示f(x)的 第k项的系数（就是 x^k-1 那一项）
  那么首先了解下卷积，如果f,g是一个序列（这指的是其系数构成的序列），那么卷积S也是一个序列
  咱们有：
     S(k)=∑f(x)(i)*g(x)(k-i)
  这个就是卷积，感觉会不会和FFT很熟悉额？
  其实多项式乘法的结果的第K项其实就是 乘上去的两个多项式的 系数的卷积S(k)。
  那么咱们就有卷积定理：
  A 卷 B = DFT^-1(DFT(A)*DFT(B))，其中DFT就是离散化傅里叶变换，DFT^-1即逆向的。
  然后咱们证明 Ej就是 f(x)和g(x)系数的卷积 S(j)
  即证明 ∑f(x)(i)*g(x)(j-i)=Ej=∑qi/(i-j)^2-∑qi/(i-j)^2
  左边弄开来：
  对于S（k），当i=k的时候，g的那一边为n,g(x)(n)=0，为0。
                      当i<k的时候，g的那一边为大于n的，则咱们设的g(x)(n+k-i)>0，而这里的i是<k的qi会算进来。
                      当i>k的时候，g的那一边为小于n的，而咱们设的g(x)(n+k-i)<0，而这里的i是>k的qi会算进来。
                      这些都是符合的。然后咱们还得证明越界的话会发生什么，假设i>n了，它是0，然后i<0，它也是0，所以越界只会使那个变成0，所以这个是正确的，然后实际上咱们只需要 n+1~2n的卷积即可。
                      然后还有系数，g(n+k-i)的系数是 1/(n+k-i-n)^2，突然发现竟然就是 1/(k-i)^2【这里的正确性咱还是有的迷糊...待修改】
 
 然后弄清楚之后就可以直接上模板了。
 这题的卷积还值得再品味一下。
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program bzoj3527;
type cp=record x,y:double;end;
     arr=array[0..1 shl 18]of cp;
 
var a,b,tt,w:arr;
    wt:cp;
    m,n:longint;
 
operator *(var a,b:cp)c:cp;
begin c.x:=a.x*b.x-a.y*b.y;c.y:=a.x*b.y+a.y*b.x;end;
operator +(var a,b:cp)c:cp;
begin c.x:=a.x+b.x;c.y:=a.y+b.y;end;
operator -(var a,b:cp)c:cp;
begin c.x:=a.x-b.x;c.y:=a.y-b.y;end;
 
procedure dft(var a:arr;s,t:longint);
var i,p:longint;
begin
  if n shr t=1 then exit;
  dft(a,s,t+1);
  dft(a,s+(1 shl t),t+1);
  for i:=0 to n shr (t+1)-1 do
   begin
     p:=i shl (t+1)+s;
     wt:=w[i shl t]*a[p+1 shl t];
     tt[i]:=a[p]+wt;
     tt[i+n shr (t+1)]:=a[p]-wt;
   end;
  for i:=0 to n shr t-1 do a[i shl t+s]:=tt[i];
end;
 
procedure init;
var i:longint;
    ans:double;
begin
  read(n);
  for i:=0 to n-1 do read(a[i].x);
  for i:=0 to n-1 do b[i].x:=(-1.0/(n-i))/(n-i);
  b[n].x:=0;
  for i:=1 to n do b[n+i].x:=(1.0/i)/i;
  m:=1;
  while m<(n shl 1+1) do m:=m shl 1;
  i:=n;n:=m;m:=i;
  for i:=0 to n-1 do w[i].x:=cos(pi*2*i/n);
  for i:=0 to n-1 do w[i].y:=sin(pi*2*i/n);
  dft(a,0,0);dft(b,0,0);
  for i:=0 to n-1 do a[i]:=a[i]*b[i];
  for i:=0 to n-1 do w[i].y:=-w[i].y;
  dft(a,0,0);
  for i:=m to m shl 1-1 do
   begin
     ans:=a[i].x/n;
     writeln(ans:0:3);
   end;
end;
 
begin
  init;
end.
ydc
……
但凡a[i]=sigma{b[j]*c[i-j]}的递推都能用FFT搞
但凡a[i]=sigma{a[j]*b[i-j}的递推都能用分治+FFT算贡献搞
所以这题没什么好说的，牢记形式就行了


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