研究内容表述

我们主要研究不可压 Navier-Stokes 方程组 $$\bee\label{NSE} \sedd{\ba{ll} \p_t\bf{u}+(\bf{u}\cdot\n)\bf{u}-\lap\bf{u}+\n \pi=\bf{0},\\ \n\cdot\bf{u}=0,\\ \bf{u}(0)=\bf{u}_0, \ea} \eee$$ 其中 $\bf{u}$ 是速度, $\pi$ 是压力, $\bf{u}_0$ 是初始速度.  该方程是千禧年大奖难题之一. 百度百科里如此介绍:  起伏的波浪跟随着我们的正在湖中蜿蜒穿梭的小船, 湍急的气流跟随着我们的现代喷气式飞机的飞行. 数学家和物理学家深信, 无论是微风还是湍流, 都可以通过理解 Navier-Stokes 方程的解, 来对它们进行解释和预言. 虽然这些方程是 19 世纪写下的, 我们对它们的理解仍然极少. 挑战在于对数学理论作出实质性的进展, 使我们能解开隐藏在 Navier-Stokes 方程中的奥秘.  

研究成果概述

1. 获得了不可压 Navier-Stokes 方程组关于 $\bf{u}$ 在 Besov 框架下的最终正则性准则, 于 2016 年发表在 J. Math. Anal. Appl. 上, 其中我们巧妙的利用了一个对流项的一个好性质与一个带 Besov 范数的 Gagliardo-Nirenberg 不等式; 也获得了关于 $\n u_3$    的几乎 Serrin 准则, 于 2015 年发表在 Z. Angew. Math. Phys. 上, 其中我们建立了一个与方程组自适应的双边乘积型 Sobolev 不等式; 另外也获得了关于 $u_3$ 与 $\p_3u_3$  的几乎 Serrin 准则, 于 2013 年发表在 Commun. Pure Appl. Anal. 上; 最后也获得了关于 $\p_3u_3$ 与 $\om_3$ 的组合型 Serrin 准则, 于 2011 年发表在  J. Math. Phys. 上 (目前 SCI 他引 15 次), 为开展更进一步的组合型准则开辟了道路. 
2. 获得了轴对称不可压 Navier-Stokes 方程组关于 $u^r$, $\om^z$, $\om^\tt$ 在带权 Lebesgue 空间中的最优正则性准则, 于 2016 年发表在 Ann. Polon. Math. 上; 后又于 2017 年利用 Miao-Zheng 的 magic identity 扩充了原有的结果, 发表在 Appl. Math. Comput. 上.
3. 获得了不可压磁流体方程组关于 $\n u_3, j_3$ 的正则性准则 (关于 $j_3$ 的尺度还是最优的), 于 2015 年发表在  Nonlinear Anal. 上, 其中给出了用 $\n u_3$ 控制 $b_3$ 的方法; 通过分离各个偏导数, 改进了 K. Yamazaki 的关于 $u_2,u_3$ 及 $u_3,j_3$ 的准则, 于 2015 年发表在 Z. Angew. Math. Phys. 上; 也获得了关于 $\p_3\pi$ 的改进准则, 于 2013 年发表在 J. Math. Anal. Appl. 上, 其与周勇教授、郏宣吉博士的结果联合起来达到了尺度 $2$, 到目前位置最佳. 
4. 获得了不可压带霍尔效应的磁流体方程组关于 $\bf{u}$ 及 $\n\bf{b}$ 在 Besov 空间中的正则性准则, 于 2016 年发表在 J. Math. Anal. Appl. 上 (目前 SCI 他引 2 次), 其中我们巧妙的建立了一些巧妙的插值型不等式.  \item 获得了Kozono-Shimada 在 Triebel-Lizorkin 空间中的 H\"older 不等式的临界情形, 并将其应用于带真空的非齐性不可压液晶流的正则性准则中, 改进了 Fan-Li (2014) 的结果, 发表在 Ann. Polon. Math. 上, 在现有知识框架下, 达到最佳.      

研究内容与成果