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Python实现数值计算----分段二次插值
事实上在实际使用中，高次插值显然是很不适合的，高次插值将所有样点包涵进一个插值函数中，这是次幂高的原因。高次计算复杂，而且刚开始的一点误差会被方的很大。因此将整个区间分为若干个小区间，在每一个小区间进行插值这样更好，实现容易，也方便在一些嵌入式设备上使用。有不少需要插值方法的场景是在嵌入式的应用中。
我以等距节点的二次插值为例，以每三个节点为一个子区间。
等距节点二次插值很好写，由于每个区间只有三个插值节点，计算差商也不必使用拉格朗日插值中使用的递归，直接列表达式也很简单（实际上等距节点二次插值就是只有三个节点的拉格朗日插值，只是此时在定义域内，有很多个拉格朗日插值函数，每个子区间对应一个）。递归的副作用相当的明显，尽管写成尾递归可以减小副作用，但是能避免递归还是避免吧。
分段插值函数可以表示为：
每一个插值函数表达式：
如上，不需要用递归求差商，方便很多。一个函数即可搞定。
"""
@brief: 获得分段二次插值函数
@param: x 插值节点的横坐标集合
@param: fx 插值节点的纵坐标集合
@return: 参数所指定的插值节点集合对应的插值函数
"""
def get_sub_two_interpolation_func(x = [], fx = []):
def sub_two_interpolation_func(Lx):
result = 0
for index in range(len(x)-2):
if Lx >= x[index] and Lx <= x[index+2]:
result = fx[index]*(Lx-x[index+1])*(Lx-x[index+2])/(x[index]-x[index+1])/(x[index]-x[index+2]) + fx[index+1]*(Lx-x[index])*(Lx-x[index+2])/(x[index+1]-x[index])/(x[index+1]-x[index+2]) + fx[index+2]*(Lx-x[index])*(Lx-x[index+1])/(x[index+2]-x[index])/(x[index+2]-x[index+1])
return result
return sub_two_interpolation_func
"""
demo:
"""
if __name__ == ‘__main__‘:
‘‘‘ 插值节点, 这里用二次函数生成插值节点，每两个节点x轴距离位10 ‘‘‘
sr_x = [i for i in range(-50, 51, 10)]
sr_fx = [i**2 for i in sr_x]
Lx = get_sub_two_interpolation_func(sr_x, sr_fx) # 获得插值函数
tmp_x = [i for i in range(-45, 45)] # 测试用例
tmp_y = [Lx(i) for i in tmp_x] # 根据插值函数获得测试用例的纵坐标
‘‘‘ 画图 ‘‘‘
import matplotlib.pyplot as plt
plt.figure("play")
ax1 = plt.subplot(111)
plt.sca(ax1)
plt.plot(sr_x, sr_fx, linestyle = ‘ ‘, marker=‘o‘, color=‘b‘)
plt.plot(tmp_x, tmp_y, linestyle = ‘--‘, color=‘r‘)
plt.show()
插值函数图像：
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