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五大常用算法之四：回溯法
(转自：http://www.cnblogs.com/steven_oyj/archive/2010/05/22/1741376.html)
1、概念
回溯算法实际上一个类似枚举的搜索尝试过程，主要是在搜索尝试过程中寻找问题的解，当发现已不满足求解条件时，就“回溯”返回，尝试别的路径。
回溯法是一种选优搜索法，按选优条件向前搜索，以达到目标。但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或达不到目标，就退回一步重新选择，这种走不通就退回再走的技术为回溯法，而满足回溯条件的某个状态的点称为“回溯点”。
许多复杂的，规模较大的问题都可以使用回溯法，有“通用解题方法”的美称。
2、基本思想
在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先搜索的策略，从根结点出发深度探索解空间树。当探索到某一结点时，要先判断该结点是否包含问题的解，如果包含，就从该结点出发继续探索下去，如果该结点不包含问题的解，则逐层向其祖先结点回溯。（其实回溯法就是对隐式图的深度优先搜索算法）。
若用回溯法求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有可行的子树都要已被搜索遍才结束。
而若使用回溯法求任一个解时，只要搜索到问题的一个解就可以结束。
3、用回溯法解题的一般步骤：
（1）针对所给问题，确定问题的解空间：
首先应明确定义问题的解空间，问题的解空间应至少包含问题的一个（最优）解。
（2）确定结点的扩展搜索规则
（3）以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。
4、算法框架
（1）问题框架
设问题的解是一个n维向量(a1,a2,………,an),约束条件是ai(i=1,2,3,…..,n)之间满足某种条件，记为f(ai)。
（2）非递归回溯框架
1: int a[n],i; 2: 初始化数组a[]; 3: i = 1; 4: while (i>0(有路可走) and (未达到目标)) // 还未回溯到头 5: { 6: if(i > n) // 搜索到叶结点 7: { 8: 搜索到一个解，输出； 9: } 10: else // 处理第i个元素 11: { 12: a[i]第一个可能的值； 13: while(a[i]在不满足约束条件且在搜索空间内) 14: { 15: a[i]下一个可能的值； 16: } 17: if(a[i]在搜索空间内) 18: { 19: 标识占用的资源； 20: i = i+1; // 扩展下一个结点 21: } 22: else 23: { 24: 清理所占的状态空间； // 回溯 25: i = i –1; 26: } 27: }
（3）递归的算法框架
回溯法是对解空间的深度优先搜索，在一般情况下使用递归函数来实现回溯法比较简单，其中i为搜索的深度，框架如下：
1: int a[n]; 2: try(int i) 3: { 4: if(i>n) 5: 输出结果; 6: else 7: { 8: for(j = 下界; j <= 上界; j=j+1) // 枚举i所有可能的路径 9: { 10: if(fun(j)) // 满足限界函数和约束条件 11: { 12: a[i] = j; 13: ... // 其他操作 14: try(i+1); 15: 回溯前的清理工作（如a[i]置空值等）; 16: } 17: } 18: } 19: }
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