1、树的定义

树（Tree）是n（n>=0）个结点的有限集。

n=0时称为空树。

在任意一棵非空树中：

（1）有且仅有一个特定的称为根（root）的结点。

（2）当n>1时，其余结点可以分为m（m>0）个互不相交的有限集T1，T2，T3……Tm，其中每个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树（SubTree）。

1.1 结点分类

树的结点包含一个数据元素及若干指向其子树的分支。

（1）结点拥有的子树数称为结点的度（Degree）。

（2）度为0的结点称为叶结点（leaf）或者终端结点；度不为0的结点称为非终端结点或分支结点。

（3）除了根结点之外，分支结点也称为内部结点。

（4）树的度是树内各结点的度的最大值。

1.2 结点间的关系

结点的子树的根称为该结点的孩子（child）。同样地，该结点称为 孩子的双亲（Parent）。同一个双亲的孩子之间互称兄弟（Sibling）。

结点的祖先是从根到该结点所经分支上的所有结点。反之，以某结点为根的子树中的任一结点都称为该结点的子孙。

1.3 树的其他相关概念

结点的层次（level）从根开始定义起，根为第一层，根的孩子为第二层。若某结点在第i层，则其子树的根就在第i+1层。其双亲在同一层的结点互为堂兄弟。

树中结点的最大层次称为树的深度（Depth）或高度。

如果将树中结点的各子树看成从左至右是有次序的，不能互换的，则称为该树为有序树，否则称为无序树。

森林（Forest）是m（m>=0）颗互不相交的树的集合。对于树中每个结点而言，其子树的集合即为森林。

对比线性表和树结构，它们有很多的不同：

线性表：

第一个数据元素：无前驱；最后一个数据元素：无后继；中间元素：一个前驱一个后继

树结构：

根结点：无双亲，唯一；叶结点：无孩子，可以多个；中间结点：一个双亲多个孩子。

2、树的存储结构

树的存储结构不能用简单的顺序存储结构来实现。但是，可以充分利用顺序存储结构和链式存储结构的特点，完全可以实现对树的存储结构的表示。

这里要介绍三种不同的表示法：双亲表示法、孩子表示法、孩子兄弟表示法。

2.1 双亲表示法

以一组连续空间存储树的结点，同时在每个结点中，附设一个指示器指示其双亲结点在数组中的位置。也就是说结点不仅知道自己是who，还知道它的parent在哪。

表示为

其中，data是数据域，存储结点的数据信息，而parent是指针域，存储该结点的双亲在数组中的下标。约定根结点的为位置域设置为-1，这意味着我们所有的结点都存有它的双亲的位置。

这样的存储结构，我们可以根据结点的parent指针很容易找到它的双亲结点，所用的时间复杂度为O(1),直到parent为-1，表示找到了树结点的根。

那么，如果我们要是想知道结点的孩子是什么，我们可以增加一个结点最左边孩子的域，不妨叫它长子域，这样就可以很容易得到结点的孩子。如果没有孩子的结点，这个长子域不妨设为-1.

若我们关注各兄弟之间的关系，可以增加一个右兄弟域来体现兄弟关系，每一个结点如果它存在右兄弟，则记录右兄弟的下标，如果不存在，记录为-1。

存储结构的设计是一个非常灵活的过程，一个存储结构设计是否合理，取决于基于该存储结构的运算是否合适、是否方便，时间复杂度好不好等。

2.2 孩子表示法

由于树中每个结点可能有很多棵子树的根结点，我们把这种方法叫做多重链表表示法。不过，树的每个结点的度是不同的，所以设计两种方案解决。

2.2.1 方案一：指针域的个数等于树的度。

其中，data是数据域，child1到childd是指针域，用来指向该结点的孩子结点。

缺点：浪费空间，有些结点的指针域都是空的，

2.2.2 方案二：每个结点指针域的个数等于该结点的度，取一个位置专门存储结点指针域的个数

其中，data是数据域，degree是度域，也就是存储该结点的孩子结点的个数，child1到childd为指针域，指向该结点的各个孩子的结点。

缺点：带来时间上的浪费

2.2.3 优化的结构

孩子表示法：把每个结点的孩子结点排列起来，以单链表作存储结构，则n个结点有n个孩子链表，如果是叶子结点，则此单链表为空。然后n个头指针又组成一个线性表，采用顺序存储结构，存放进一个一维数组中。

为此，设计两种结点结构。一个是孩子链表的的孩子结点，如

其中，child是数据域，用来存放某个结点在表态数组中的下标，next是指针域，用来存储向某结点的下一个孩子结点的指针。

另一个是表头数组的表头结点，

其中，data是数据域，存储某结点的数据信息，firstchild是头指针域，存储该结点的孩子链表的头指针。

还有一种可以遍历双亲的，称为双亲孩子表示法

2.3 孩子兄弟表示法

任何一棵树，它的结点的第一个孩子如果存在就是唯一的，它的右兄弟如果存在也是唯一的。因此，我们设置两个指针，分别指向该结点的第一个孩子和此结点的右兄弟。

其中，data是数据域，firstchild为指针域，存储该结点的第一个孩子结点的存储地址，rightsib是指针域，存储该结点的右兄弟结点的存储地址。

大话数据结构(十三）——树的理论知识