~\(≧▽≦)/~啦啦啦，昨天说的是LCS，今天我们要学习的是LIS，什么是LIS呢？

 LIS： 最长有序子序列（递增／递减／非递增／非递减）这么说还是有些模糊，举个例子：

  在一个无序的序列a1,a2,.....,am里，找到一个最长的序列，满足ai<=aj...<=ak; 且i<j<k;

  例如该无序子序列为a[1]=1,a[2]=4,a[3]=5,a[4]=2;则最长序列为1,4,5.

  小盆友们是不是明白了什么是最长有序子序列了呢？下面我们说说怎么求最长有序子序列：

   先来说说经典的求法吧：

   设a[i]表示序列中的第i个数，f[i]表示从1到i这一段中以i结尾的最长上升子序列的长度，初始时设f[i] = 0(i = 1, 2, ..., len(A))。则有动态规划方程：f[i] = max{1, f[j] + 1} (j = 1, 2, ..., i - 1, 且a[j] < a[i])。

   现在，我们仔细考虑计算f[i]时的情况。假设有两个元素a[x]和a[y]，满足

    (1)y < x < i

    (2)a[x] <a[y] < a[i]

    (3)f[x] = f[y]

   此时，选择f[x]和选择f[y]都可以得到同样的f[i]值，那么，在最长上升子序列的这个位置中，应该选择a[x]还是应该选择a[y]呢？

　很明显，选择a[x]比选择a[y]要好。因为由于条件a[x] < a[y] < a[i]，在a[x+1] ~a[i-1]这一段中，如果存在a[z]，a[x] < a[z] < a[y]，则与选择a[y]相比，将会得到更长的上升子序列。

　　再根据条件f[x] = f[y]，我们会得到一个启示：根据f[]的值进行分类。对于f[]的每一个取值k，我们只需要保留满足f[i] = k的所有a[i]中的最小值。设d[k]记录这个值，即d[k] = min{ a[i] } ( f[i] = k )。

特别关注D[]的几个特点：

      (1)　D[k]的值是在整个计算过程中是单调不上升的。//此处需要特别注意!!!关键之所在!

　　(2)　D[]的值是有序的，即D[1] < D[2] < D[3] < ... < D[n]。

  利用D[]，我们可以得到另外一种计算最长上升子序列长度的方法。设当前已经求出的最长上升子序列长度为len。先判断a[i]与D[len],若a[i] > D[len]，则将a[i]接在D[len]后将得到一个更长的上升子序列,len = len + 1,D[len+1] = a[i];否则,在D[1]..D[len]中,找到最大的j,满足D[j] < a[i].令k = j + 1,则有D[j] < a[i] <= D[k]，将a[i]接在D[j]后将得到一个更长的上升子序列,同时更新D[k] = a[i].最后，len即为所要求的最长上升子序列的长度。

    在上述算法中,若使用朴素的顺序查找在D[1]..D[len]查找,由于共有O(n)个元素需要计算,每次计算时的复杂度是O(n),则整个算法的时间复杂度为O(n^2),与原来的算法相比没有任何进步.但是由于D[]的特点a[x] <a[y] < a[i],我们在D[]中查找时,可以使用二分查找高效地完成,则整个算法的时间复杂度下降为O(nlogn),有了非常显著的提高.需要注意的是,D[]在算法结束后记录的并不是一个符合题意的最长上升子序列.

这个算法还可以扩展到整个最长子序列系列问题,整个算法的难点在于二分查找的设计,需要非常小心注意.

 1 // By Fandywang 2008.7.21 2 // Call: LIS(a, n); 求最大递增/上升子序列(如果为最大非降子序列,只需把上面的注释部分给与替换) 3 const int N = 1001; 4 int a[N], f[N], d[N]; // d[i]用于记录a[0...i]的最大长度 5 int bsearch(const int *f, int size, const int &a) 6 { 7     int l=0, r=size-1; 8     while( l <= r ) 9     {10         int mid = (l+r)/2;11         if( a > f[mid-1] && a <= f[mid] ) return mid; // >&&<= 换为: >= && <12         else if( a < f[mid] ) r = mid-1;13         else l = mid+1;14     }15 }16 int LIS(const int *a, const int &n){17      int i, j, size = 1;18      f[0] = a[0]; d[0] = 1;19      for( i=1; i < n; ++i ){20           if( a[i] <= f[0] ) j = 0;                 // <= 换为: <21          else if( a[i] > f[size-1] ) j = size++;   // > 换为: >=22          else j = bsearch(f, size, a[i]);23          f[j] = a[i]; d[i] = j+1;24      }25      return size;26 }

上面的算法多少有些繁琐，下面介绍另一种算法：

    如果前i-1个数中的最长非降子序列的最后一个数是ak;那么下一步就是在求前k-1个数中的的最长非降子序列；

    因此我们可以设计一个状态opt[j]表示前i个数中用到a[i]所构成的最优解。

    那么决策就是在前i-1个数中找到最大的opt[j] 使得a[j]<=a[i]，那么opt[j]+1 就是opt[i]的值;

方程可以这样表示：

　　　　　　max[opt[j]] a[i] < a[j] && 0<=j<i

opt[i] ={

　　　　　　max[opt[j]]+1 a[i] >= a[j] && 0<=j<i

 1 #include <stdio.h> 2  3 #include <stdlib.h> 4  5   6  7 int main() 8  9 {   10 11     int seq[10] = {4,5,7,8,3,2,6,7,33,4};12 13     int opt[10], i, j, max = 0;14 15  16 17     for(i=0; i<10; i++)18 19         opt[i] = 0;20 21     opt[0] = 1;  //只有一个数时最长非降序列长度为122 23  24 25     for(i=1; i<10; i++)26 27 　　{28 29 　　　　　opt[i] = 1;30 31         for(j=0; j<i; j++)32 33         {34 35             if(seq[j]<=seq[i] && opt[j]+1>opt[i])36 37             {38 39                 opt[i] = opt[j]+1;40 41             }42 43         }44 45 　　}46 47  48 49     for(i=0; i<10; i++)50 51         if(opt[i] > max)52 53             max = opt[i];54 55     printf("max:%d\n", max);56 57     return 0;58 59 } 

感谢：

http://www.cnblogs.com/dartagnan/archive/2011/08/29/2158230.html

http://hi.baidu.com/fandywang_jlu/item/da673a3d83e2a65980f1a7e1