题目：假设有2N个人在排队买票，其中有N个人手持50元的钞票，另外有N个人手持100元的钞票，假设开始售票时，售票处没有零钱，问这2N个人有多少种排队方式，不至使售票处出现找不开钱的局面？

分析：队伍的序号标为0,1,...,2n-1,并把50元看作左括号，100元看作右括号，合法序列即括号能完成配对的序列。对于一个合法的序列，第0个一定是左括号，它必然与某个右括号配对，记其位置为k。那么从1到k-1、k+1到2n-1也分别是两个合法序列。那么，k必然是奇数（1到k-1一共有偶数个），设k=2i+1。那么剩余括号的合法序列数为f(2i)*f(2n-2i-2)个。取i=0到n-1累加，并且令f(0)=1，则f(2n) =  ∑f(2i)*f(2n-2i-2)，其中i = 0 ... n-1，最后的结果即为卡特兰数。

咱们看leetcode上面有一个类似的问题，即

Generate Parentheses

Given n pairs of parentheses, write a function to generate all combinations of well-formed parentheses.

For example, given n = 3, a solution set is:

"((()))", "(()())", "(())()", "()(())", "()()()"

class Solution {
public:
    void generateParenthesis(int left,int right,string parenthese,vector<string>& res)
    {
    	if(left == 0 && right == 0)//得到一个结果
    	{
    		res.push_back(parenthese);
    		return;
    	}
    	if(left > 0)generateParenthesis(left - 1,right,parenthese + '(',res);
    	if(right > 0 && left < right)generateParenthesis(left,right-1,parenthese+')',res);
    }
    vector<string> generateParenthesis(int n) 
    {
    	vector<string> res;
    	if(n <= 0)return res;
    	generateParenthesis(n,n,"",res);
    	return res;
    }
};

再看leetcode上的关于唯一二叉树个数的问题，也是编程之美中买票找零的扩展问题：

Unique Binary Search Trees

Given n, how many structurally unique BST‘s (binary search trees) that store values 1...n?

For example,
Given n = 3, there are a total of 5 unique BST‘s.

   1         3     3      2      1
    \       /     /      / \           3     2     1      1   3      2
    /     /       \                    2     1         2                 3

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
    	vector<int> num(n+1,0);
    	if(n <= 0)return 0;
    	num[0] = 1;
    	num[1] = 1;
    	int i,left,right;
    	for(i = 2; i <= n; ++i)//当前根节点的位置
    	{
    		for(left = 0; left < i; ++left)
    		{
    			right = i - left - 1;
    			num[i] += num[left] * num[right];//左子树的个数 * 右子树的个数
    		}
    	}
    	return num[n];
    }
};

Unique Binary Search Trees II

Given n, generate all structurally unique BST‘s (binary search trees) that store values 1...n.

For example,
Given n = 3, your program should return all 5 unique BST‘s shown below.

   1         3     3      2      1
    \       /     /      / \           3     2     1      1   3      2
    /     /       \                    2     1         2                 3

confused what "{1,#,2,3}" means? > read more on how binary tree is serialized on OJ.

思路和上面的一样，选取一个根节点，然后递归左右子树，以该根节点为结果的数的个数是左右子树的乘积，所以是一个二重循环

class Solution {
public:
    vector<TreeNode *> generateTrees(int start,int end) {
    	vector<TreeNode*> res;
    	if(start > end)//空子树
    	{
    		res.push_back(NULL);
    		return res;
    	}
    	int k;
    	for(k = start; k <= end; ++k)//根节点的位置
    	{
    		vector<TreeNode*> left  = generateTrees(start,k-1);
    		vector<TreeNode*> right = generateTrees(k+1,end);
    		int i,j;
    		for(i = 0; i < left.size();++i)
    		{
    			for(j = 0; j < right.size();++j)
    			{
    				TreeNode* root = new TreeNode(k);//所有以该根节点为结果的树
    				root -> left = left[i];
    				root -> right = right[j];
    				res.push_back(root);
    			}
    		}
    	}
    	return res;
    }
    vector<TreeNode *> generateTrees(int n) {
    	vector<TreeNode*> res;
    	res = generateTrees(1,n);
    	return res;
    }
};

从《编程之美》买票找零问题说起，娓娓道来卡特兰数——兼爬坑指南