杨辉三角的多种解法

杨辉三角的相信大家很熟悉吧，但是大家能用多少中方法写出来呀，一般人都只会想到两种，递归和二项式。当用递推时，有时在解题是根本没必要需要那么多呀，而只要杨辉三角的某一行，数据小时，我们可以用二项式来计算，但是数据比较大时，二项式算也是很麻烦的，那么还有其它的方法吗？所以下面我就介绍几种计算杨辉三角的方法吧。

主要要记住第四种。。。。

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一：二维数组

递推公式：f[1][1]=1 ,  f[i][j]=f[i-1][j-1]+f[i-1][j]

核心代码：

f[1][1]=0;
for(int i=1;i<10;i++)
{
    for(int j=1;j<=i;j++)
    {
        f[i][j]=f[i-1][j-1]+f[i-1][j];
    }
}

二：一维数组

思想：用一个一维数组把相邻两个数的和计算出来保存，到下一行时就输出。。。

代码：

#include <stdio.h>
void main()
{
    int N = 13;       /* 维数 */
    int a[80] = {0};
    int b[80] = {0};
    int i, j;
    b[1]=1;
    for (i = 1; i <= N; i++)
    {
        for (j = 1; j <= i; j++)
            a[j] = b[j] + b[j-1];

        for (j = 1; j <= i; j++)  /* copy当前行a[]到b[]中以备下行的所用 */
        {
            b[j] = a[j];
            printf("%-6d", b[j]);
        }
        printf("\n");
    } 
}

分析: 其思路是用一维数组做,实际上用的是两个一维数组a[], b[].其中a[]是保存当前行各元素的值, 而b[]可以认为是一个临时数组, 它是a[]的一个备份, 也就是说在每行a[]元素置数完毕后,将a[]中的内容拷贝到b[]中,因为进行下一行的运算时, a[]会被重置, 而且由杨辉三角的规律知下一行要用到上一行的元素, 这样在计算下一行的a[]时就可以用保存在b[]中的上一行的元素了(咋感觉这么啰嗦呢^_^)。也正因为如此, 在每一行运算完之后,就要将其输出显示, 下一行时a[]就是新值了。所以用这种方法最后程序结束时并没有将三角中所有元素保存下来，只是在程序运行过程中将其输出。

    再看其程序的核心部分： a[j] = b[j] + b[j-1]; 其开始定义了数组a[80],b[80]，0号元素并未使用，即每一行的元素都是从a[1]开始的。但这个0号元素是不是真的没用呢？稍加分析可知当然否，而且感觉这个0号元素用的挺巧妙，比如说到第5行时(其实与第几行没关系)，输出第一个元素的语句是 a[1]=b[1]+b[0], 由于b[1]为1, 这时0号元素就派上用场了,b[0]为0, 可以将每一行的第一个元素置为1, 往下走有第二个元素 a[2]=b[2]+b[1]; ...开始按杨辉三角的规律走。同理，到最后一个元素时，a[5]=b[5]+b[4]，在上一行中只有4个元素，即此时b[]中只有4个有效元素，那这个b[5]算什么呢？其实它跟那个0号元素有相同的作用，因为初始化时数组中的所有元素都置为0，所以这时的b[5]为0，由b[4]为1可得a[5]为1。这样可以将每一行的最后一个元素置为1。对于各行，此法均适用，实际上就是在满足杨辉三角两侧值均为1的规律。

三：二项式定理：

公式：第n行第i个数表示为C(n-1,r)    注：C(n,m)=n!/[m!(n-m)!]

#include<cstdio>
#include<iostream>

using namespace std;

int C(int n,int m)
{
    int k=1,j=1,i;
    for(i=n;i>n-m;i--)
    {
        k=k*(i)/j;   //注意组合数的算法，分子从大到小计算，分母从小到大计算
        j++;
    }
    return k;
}

int main()
{
    int i,j;
    for(i=1;i<=10;i++)
    {
        for(j=0;j<i;j++)
        {
            printf("%d ",C(i-1,j));
        }
        printf("\n");
    }
    return 0;
}

这个方法接触还是在今年的多校联合的题目中hdu4927，不然我也不会知道这个方法，这个方法感觉跟二项式有点关系。。。。

这个方法就直接贴代码啦。

#include<cstdio>
#include<iostream>

using namespace std;

int main()
{
    int b=1,i,j;
 
    for(i=1;i<10;i++)
    {
        b=1;
        for(j=1;j<=i;j++)
        {
            printf("%d\t",b);
            b=b*(i-j)/j;         //核心部分
        }
        printf("\n");
    }
    return 0;
}

貌似还有一些，但这儿就不介绍啦，主要要记住第四种。。。如想了解更多http://wenku.baidu.com/link?url=tqYsPVF_zoJMTaOqI6y7efjS4JP7cYxPxr_S_8C42aLNMrtoKUkz8MRxjNCB5W2otCAioiIzVpast2NoKfLr3CLzQAbFKRN9V61mMlZn6jO