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ACM中杨辉三角的多种解法

杨辉三角的多种解法

杨辉三角的相信大家很熟悉吧,但是大家能用多少中方法写出来呀,一般人都只会想到两种,递归和二项式。当用递推时,有时在解题是根本没必要需要那么多呀,而只要杨辉三角的某一行,数据小时,我们可以用二项式来计算,但是数据比较大时,二项式算也是很麻烦的,那么还有其它的方法吗?所以下面我就介绍几种计算杨辉三角的方法吧。

主要要记住第四种。。。。

完整版下载:http://download.csdn.net/detail/u010304217/7750997

博客版下载:http://download.csdn.net/detail/u010304217/7751017

一:二维数组

递推公式:f[1][1]=1 ,  f[i][j]=f[i-1][j-1]+f[i-1][j]

核心代码:

f[1][1]=0;
for(int i=1;i<10;i++)
{
    for(int j=1;j<=i;j++)
    {
        f[i][j]=f[i-1][j-1]+f[i-1][j];
    }
}


二:一维数组

思想:用一个一维数组把相邻两个数的和计算出来保存,到下一行时就输出。。。

代码:

#include <stdio.h>
void main()
{
    int N = 13;       /* 维数 */
    int a[80] = {0};
    int b[80] = {0};
    int i, j;
    b[1]=1;
    for (i = 1; i <= N; i++)
    {
        for (j = 1; j <= i; j++)
            a[j] = b[j] + b[j-1];

        for (j = 1; j <= i; j++)  /* copy当前行a[]到b[]中以备下行的所用 */
        {
            b[j] = a[j];
            printf("%-6d", b[j]);
        }
        printf("\n");
    } 
}

分析其思路是用一维数组做,实际上用的是两个一维数组a[], b[].其中a[]是保存当前行各元素的值b[]可以认为是一个临时数组它是a[]的一个备份也就是说在每行a[]元素置数完毕后,a[]中的内容拷贝到b[],因为进行下一行的运算时, a[]会被重置而且由杨辉三角的规律知下一行要用到上一行的元素这样在计算下一行的a[]时就可以用保存在b[]中的上一行的元素了(咋感觉这么啰嗦呢^_^)。也正因为如此在每一行运算完之后,就要将其输出显示下一行时a[]就是新值了。所以用这种方法最后程序结束时并没有将三角中所有元素保存下来,只是在程序运行过程中将其输出。

    再看其程序的核心部分: a[j] = b[j] + b[j-1]; 其开始定义了数组a[80],b[80]0号元素并未使用,即每一行的元素都是从a[1]开始的。但这个0号元素是不是真的没用呢?稍加分析可知当然否,而且感觉这个0号元素用的挺巧妙,比如说到第5行时(其实与第几行没关系),输出第一个元素的语句是 a[1]=b[1]+b[0], 由于b[1]1, 这时0号元素就派上用场了,b[0]0, 可以将每一行的第一个元素置为1, 往下走有第二个元素 a[2]=b[2]+b[1]; ...开始按杨辉三角的规律走。同理,到最后一个元素时,a[5]=b[5]+b[4],在上一行中只有4个元素,即此时b[]中只有4个有效元素,那这个b[5]算什么呢?其实它跟那个0号元素有相同的作用,因为初始化时数组中的所有元素都置为0,所以这时的b[5]0,由b[4]1可得a[5]1。这样可以将每一行的最后一个元素置为1。对于各行,此法均适用,实际上就是在满足杨辉三角两侧值均为1的规律。

三:二项式定理:

公式:第n行第i个数表示为C(n-1,r)    注:C(n,m)=n!/[m!(n-m)!]

代码:

#include<cstdio>
#include<iostream>

using namespace std;

int C(int n,int m)
{
    int k=1,j=1,i;
    for(i=n;i>n-m;i--)
    {
        k=k*(i)/j;   //注意组合数的算法,分子从大到小计算,分母从小到大计算
        j++;
    }
    return k;
}

int main()
{
    int i,j;
    for(i=1;i<=10;i++)
    {
        for(j=0;j<i;j++)
        {
            printf("%d ",C(i-1,j));
        }
        printf("\n");
    }
    return 0;
}

四:递推公式法:

这个方法接触还是在今年的多校联合的题目中hdu4927,不然我也不会知道这个方法,这个方法感觉跟二项式有点关系。。。。

这个方法就直接贴代码啦。

#include<cstdio>
#include<iostream>

using namespace std;

int main()
{
    int b=1,i,j;
 
    for(i=1;i<10;i++)
    {
        b=1;
        for(j=1;j<=i;j++)
        {
            printf("%d\t",b);
            b=b*(i-j)/j;         //核心部分
        }
        printf("\n");
    }
    return 0;
}


貌似还有一些,但这儿就不介绍啦,主要要记住第四种。。。如想了解更多http://wenku.baidu.com/link?url=tqYsPVF_zoJMTaOqI6y7efjS4JP7cYxPxr_S_8C42aLNMrtoKUkz8MRxjNCB5W2otCAioiIzVpast2NoKfLr3CLzQAbFKRN9V61mMlZn6jO