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无限的hypotheses 变成有限的dichotomies

给定任意D,它是某些H的Bad Sample(即Ein和Eout不接近)的概率为:

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即H中备选函数的数量M=|H|越少,样本数据量N越大,则样本成为坏样本的概率越小。在一个可接受的概率水平上,学习算法A只需要挑选那个表现最好的h作为g就行了。

挑选出最好的g需要满足两个条件:找到一个假设g使得Eout(g)和Ein(g)是非常接近的,使得Ein(g)足够小,

下面是BAD和M的关系:

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因此选择一个合适的M是非常重要的,需要用一个有限的值m来替代一个非常无限的值M

思路:overlapping for similar hypotheses h1 h2 ,它们的Ein(h1)≈Ein(h2),Eout(h1)≈Eout(h2)(比如说PLA中的两条直线,相邻的很近的直线)=>union bound over-estimating

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to account for overlap,we can group similar hypotheses by kind

h对D的一个Dichotomy(二分):备选函数集中的每一个函数h都是输入X到输出Y的一个映射:H={hypothesis h:X->{×,Ο}}将h(x1,x2,...,xN)=(h(x1),h(x2),...,h(xN))∈{×,Ο}其中H(x1,x2,...,xN)包含了所有对D的dichotomies。

hypotheses H 和dichotomies H(x1,x2,...,xN)的区别:

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growth function: remove dependence by taking max of all possible (x1, x2, . . . , xN)

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4个成长函数

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break point:k个输入,如果它不能被当前的备选函数集H shatter,那么k就是H的一个Break Point

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