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独立任务最优调度问题
问题描述：独立任务最优调度，又称双机调度问题：用两台处理机A和B处理n个作业。设第i个作业交给机器A处理时所需要的时间是a[i]，若由机器B来处理，则所需要的时间是b[i]。现在要求每个作业只能由一台机器处理，每台机器都不能同时处理两个作业。设计一个动态规划算法，使得这两台机器处理完这n个作业的时间最短（从任何一台机器开工到最后一台机器停工的总的时间）。研究一个实例：n=6, a = {2, 5, 7, 10, 5, 2}, b = {3, 8, 4, 11, 3, 4}.
分析：当完成k个作业，设机器A花费了x时间，机器B所花费时间的最小值肯定是x的一个函数，设F[k][x]表示机器B所花费时间的最小值。则F[k][x]=Min{ F[k-1][x]+b[k], F[k-1][x-a[k]] }；其中F[k-1][x]+b[k]表示第k个作业由机器B来处理（完成k-1个作业时机器A花费的时间仍是x），F[k-1][x-a[k]]表示第k个作业由机器A处理（完成k-1个作业时机器A花费的时间是x-a[k]）。
那么单个点对较大值Max(x, F[k][x])，表示此时（即机器A花费x时间的情况下）所需要的总时间。而机器A花费的时间x是变化的，即x=0,1,2……x(max)，（理论上x的取值是离散的，但为编程方便，设为整数连续的）由此构成了点对较大值序列。要求整体时间最短，取这些点对较大值序列中最小的即是。
理解难点在于B是A的函数表达式，也即动态规划所在。花点时间，看懂表达式，加上思考，理解了这点一切OK，后面的编程实现完全依据这个思想。先用前两个任务的枚举示例来帮助理解。
示例：前两个作业示例足矣。
初始化第一个作业：下标以0开始。
首先，机器A所花费时间的所有可能值范围：0 <= x <= a[0].
设x<0时，设F[0][x]= ∞，则max(x, ∞)= ∞；记法意义见下。
x=0时，F[0][0]=3，则Max(0,3)=3，机器A花费0时间，机器B花费3时间，而此时两个机器所需时间为3；
x=1时，F[0][1]=3，Max(1,3)=3；
x=2时，F[0][2]=0，则Max(2,0)=2；
那么上面的点对序列中，可以看出当x=2时，完成第一个作业两台机器花费最少的时间为2，此时机器A花费2时间，机器B花费0时间。
来看第二个作业：
首先，x的取值范围是：0 <= x <= (a[0] + a[1]).
当x<0时，记F[1][x] = ∞；这个记法编程使用，因为数组下标不能小于0。在这里的实际含义是：x是代表完成前两个作业机器A的时间，a[1]是机器A完成第2个作业的时间，若x<a[1]，则势必第2个作业由机器B来处理，即在Min()中取前者。
x=0，则F[1][0]= Min{ F[0][0]+b[2], F[0][0-a[1]] }= Min{3+8,∞}=11，进而Max(0,11)=11；
x=1，则F[1][1]= Min{ F[0][1]+b[2], F[0][1-a[1]] }= Min{3+8,∞}=11，进而Max(11)=11；
x=2，则F[1][2]= Min{ F[0][2]+b[2], F[0][2-a[1]] }= Min{0+8,∞}=8，进而Max(2,8)=8；
x=3，则F[1][3]= Min{ F[0][3]+b[2], F[0][3-a[1]] }= Min{0+8,∞}=8，进而Max(3,8)=8；
x=4，则F[1][4]= Min{ F[0][4]+b[2], F[0][4-a[1]] }= Min{0+8,∞}=8，进而Max(4,8)=8；
x=5，则F[1][5]= Min{ F[0][5]+b[2], F[0][5-a[1]] }= Min{0+8,3}=3，进而Max(5,3)=5；
x=6，则F[1][6]= Min{ F[0][6]+b[2], F[0][6-a[1]] }= Min{0+8,3}=3，进而Max(6,3)=6；
x=7，则F[1][7]= Min{ F[0][7]+b[2], F[0][7-a[1]] }= Min{0+8,0}=0，进而Max(7,0)=7；
那么上面的点对序列中，可以看出当x=5时，完成两个作业两台机器花费最少的时间为5，此时机器A花费5时间，机器B花费3时间。
算法时间复杂度：按照上述思想，编程实现，结果如上图，算法时间复杂度为O(n*Sum)，其中Sum为a中所有元素之和与b中所有元素之和的最小值。王晓东《算法设计与实验题解》中提供的方法时间复杂度是O(m*m*n*n*n)，其中m为a、b所有元素的最大值。
比较：Sum必然远远小于n*m；所以n*Sum<n*n*m，相比之下差了O(n*m)都不止，看来这个思想还是蛮优秀的。。。。
程序如下，数据通过“input.txt”输入：
#include<iostream>
#include<fstream>
#include<iomanip>
using namespace std;
const int SIZE=50;
const int MAXINT=999;
int main(){
while(1){
int N,a[SIZE],b[SIZE],SumA[SIZE],SumB[SIZE];
int tempSumA,tempSumB,MinSum;
int i=0,j,k;
tempSumA=tempSumB=0;
int data;
int oriData[SIZE];
//记录A，B完成当前任务所需时间
//Read input.txt
ifstream ifile;
ifile.open("input.txt");
if(ifile.eof())
{
cerr<<"Fail to open the file input.txt"<<endl;
return 1;
}
while(ifile>>data)
{
oriData[i++]=data; //Recording data
}
N=(int)oriData[0]; //the number of task
// i=0;
for (i=1;i<=N;i++)
{
a[i]=oriData[i];
tempSumA+=a[i];
SumA[i]=tempSumA;
}
for (i=1,j=N+1;j<=2*N;j++,i++)
{
b[i]=oriData[j];
tempSumB+=b[i];
SumB[i]=tempSumB;
}
//Show data of input.txt and data will process.
cout<<"Input.txt Data:"<<endl;
cout<<oriData[0]<<endl;
for (i=1;i<=2*N; )
{
cout<<oriData[i]<<" ";
i++;
cout<<oriData[i]<<endl;
i++;
}
/* cout<<"Data will process:"<<endl;
for (i=0;i<cnt;i++)
{
cout<<proData[i]<<" ";
}*/
cout<<endl;
ifile.close();
/*cin>>N;
if(N<=0)break;
int tempSumA,tempSumB,MinSum;
int i,j,k;
tempSumA=tempSumB=0;
for(i=1;i<=N;i++){
cin>>a[i];
tempSumA+=a[i];
SumA[i]=tempSumA;
}
for(i=1;i<=N;i++){
cin>>b[i];
tempSumB+=b[i];
SumB[i]=tempSumB;
} */
MinSum=(tempSumB>tempSumA)?tempSumA:tempSumB;
//时间上限AB总和的最小值
///动态二维数组
int *MaxTime=new int [MinSum+1];
int **F=new int*[N+1];
for(i=0;i<N+1;i++)
F[i]=new int [MinSum+1];
SumB[0]=0;
for(i=0;i<=N;i++){
F[i][0]=SumB[i];//SumB[0]没赋值，调试时会输出地址
for(j=1;j<=MinSum;j++)
F[i][j]=0;
}
/*for(i=0;i<=N;i++){
for(j=0;j<=MinSum;j++)
cout<<setw(2)<<F[i][j]<<" ";
cout<<endl;
}
cout<<endl;*/
int temp;
for(k=1;k<=N;k++){
temp=(SumA[k]>SumB[k])?SumB[k]:SumA[k];
for(i=1;i<=temp;i++){ //A最多用AB前k任务的最小值，如果B最少就全用B做。
if(i>=a[k])//等于号不能少
F[k][i]=(F[k-1][i]+b[k]<F[k-1][i-a[k]])?F[k-1][i]+b[k]:F[k-1][i-a[k]];
else F[k][i]=F[k-1][i]+b[k];
}
}
/*for(i=0;i<=N;i++){
for(j=0;j<=MinSum;j++)
cout<<setw(2)<<F[i][j]<<" ";
cout<<endl;
}
cout<<endl; */
temp=MAXINT;
for(i=0;i<=MinSum;i++){
MaxTime[i]=(i>F[N][i])?i:F[N][i];
if(temp>MaxTime[i])
temp=MaxTime[i];
}
//cout<<temp<<endl;
//out.txt
ofstream ofile; //write file
ofile.open("output.txt");
/* int result=0;
for(int i=0;i<c;i++)
{
result+=abs(Data[i]-m);
}*/
ofile<<temp<<endl;
ofile.close();
cout<<"最优时间为："<<temp<<endl;
while(1);
///////////////////////////////////
/*for(i=0;i<N+1;i++)
delete [] F[i];
delete [] F;
delete [] MaxTime;
F=NULL; */
}
////////////////////////////////
//system("pause");
//return 0;
}