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时间转换与星期推算(Matlab版)

1 概述

最近在学习GPS解算算法时需要在GPS时(GPS周和周内秒)和公历日期之间进行转换,于是就整理了一些时间转换的小程序。 本文介绍了GPS时、公历、儒略日(JD)、简化儒略日(MJD)之间的转换函数。

 

gps2cal 将GPS周和周内秒转换到公历时间
gps2cal1 由公历日期和GPS周内秒计算公历时间
cal2gps 将公历GPS时间转换到GPS周和周内秒
mjd2cal 将简化儒略日转换到公历时间
cal2mjd 将公历时间转换到简化儒略日
jd2cal 从儒略日计算公历时间
cal2jd 将公历时间转换到儒略日
cal2wd 借助MJD,由公历年月日推算星期几,按照格里高利十三世的历法改革去掉1582年10月5日至14日
cal2wd1 由公历年月日推算星期几,按照英国人的做法去掉1752年9月3日至13日
cal2wd2 不借助MJD,由公历年月日推算星期几,去掉1582年10月5日至14日

 

在MJD基础上推算星期是很简单的,我顺带写出了从公历推算星期的函数cal2wd。 不借助MJD也可以推算星期,例如安竹林同学在《再谈星期的计算》(《程序员》2001年第4期)介绍的方法。本文给出了这个方法的matlab版本cal2wd1。 cal2wd1按照英国人的历法去掉了公历中的公元1752年9月3日至13日。 我又写了cal2wd2函数,这个函数按照格里高利十三世的做法去掉1582年10月5日至14日。

我在2005年写过一篇《时标与历法》,介绍过一些历法的基础知识。 本文假设读者了解该文介绍的一些概念,例如原子时标、UTC、闰秒、儒略历、儒略日、简化儒略日等。

 

2 GPS周和周内秒

GPS时从1980年1月6日0时开始计时。GPS时的秒长度与UTC一样,采用原子时标。但GPS时是连续的,不调整闰秒。 在GPS数据中,GPS时通常被表示为GPS周和周内秒。例如:

>> gpst=cal2gps([2009 3 13 22 38 10]) gpst =         1522      513490 >> cal=gps2cal(gpst) cal =         2009           3          13          22          38          10 

即2009年3月13日22:38:10对应gps周1522,周内秒513490。 GPS数据为什么要采用周和周内秒的表示方式呢?

因为这样便于存储和处理。GPS系统内部每隔1.5s会产生一个叫作X1历元的定时事件。 系统通过对X1历元计数的方式计时,这种计时方式被称作Z计数。 Z计数有29bit,高10bit是周数,低19bit是周内秒。 一个星期有604800秒,19bit所能表示的最长时间是(2^19-1)*1.5=786430.5秒,够用啦。 GPS卫星和接收机之间通过Z计数传递时间,所以GPS数据文件中会用到GPS周和周内秒。

我在做数据解算时,有时知道观测日期和周内秒,所以写了一个由公历日期和GPS周内秒计算公历时间的函数gps2cal1:

>> cal=gps2cal1([2009 3 13],513490) cal =         2009           3          13          22          38          10 

请注意这3个函数里的公历时间没有调整闰秒。在GPS数据(例如RINEX格式)中,公历时间也不调整闰秒。

 

3 儒略日和简化儒略日

我在《时标与历法》中介绍过儒略历、儒略日(JD)和简化儒略日(MJD),这里就不再重复。只是简单说明一下公历的不连续性。 公元1582年3月1日,罗马教皇格里高利十三世在颁布格里高利历(即我们现在使用的公历)时,为了消除已经存在的误差,宣布去掉1582年10月5日至14日。 即1582年10月4日的23:59的下一秒是1582年10月15日的00:00。

我们通常对1582年10月15日0时之后的时间使用格里高利历,对1582年10月4日的23:59之前的时间使用儒略历。 这里的儒略历是指屋大维改革过的儒略历,即奥古斯都历。它和格里高利历除了置闰方式不同,其它是完全一样的。 儒略历是4年一闰,400年100闰。公历是400年97闰,扣掉了3个不能被400整除的世纪年。

例如:香港天文台说儒略日“以倒推到公元前4713年1月1日格林尼治平时正午为起算日期”。这里的公元前4713年1月1日就是按照儒略历倒推的日期。 但没有必要特殊说明儒略历。 本文提供的mjd2cal、cal2mjd、jd2cal、cal2jd函数都使用了规则:公元1582年10月4日24:00点之前使用儒略历,公元1582年10月15日00:00点之后使用格里高利历。 下面是一些使用示例:

>> jd2cal(0) ans =        -4713           1           1          12           0           0 >> mjd2cal(0) ans =         1858          11          17           0           0           0 >> cal2jd([1582 10 4 12 0 0]) ans =      2299160 >> cal2jd([1582 10 15 12 0 0]) ans =      2299161 >> cal2mjd([1582 10 4 0 0 0]) ans =      -100841 >> cal2mjd([1582 10 15 0 0 0]) ans =      -100840 

网上有很多介绍闰年的文章会以公元1000年为例,说它不是闰年。事实上,按照1582年10月4日24:00点之前使用儒略历的规则,公元1000年是闰年。 也就是说公元1000年2月29日在历史上是存在的。例如:

>> cal2jd([1000 2 28 12 0 0]) ans =      2086366 >> cal2jd([1000 2 29 12 0 0]) ans =      2086367 >> cal2jd([1000 3 1 12 0 0]) ans =      2086368 

4 星期推算

在MJD的基础上,我们可以很方便地推算星期。函数cal2wd只需要两行代码:

mjd=floor(cal2mjd(cal)); % 2009年3月9日(MJD 54899)是星期一 wd=mod(mjd-54899,7)+1; 

因为在JD或MJD中,1582年10月5日至14日是不存在的。所以1582年10月15日是星期五,1582年10月4日是星期四:

>> cal2wd([1582 10 15]) ans =      5 >> cal2wd([1582 10 4]) ans =      4 

不借助MJD,也可以直接推算星期。安竹林同学在《再谈星期的计算》一文中介绍了一个简单易行的方法。我将其写成matlab函数cal2wd1。 不过在安同学的代码中,1582年10月5日至14日是存在的,1752年9月3日至13日是不存在的,这是怎么回事呢?

事情是这样的。1582年3月1日格里高利十三世颁布格里高利历后,英国人认为从历史上去掉10天是很荒唐的事情,没有接受。 其实更合理的解释是:格里高利历是罗马教皇颁布的,信奉天主教的意大利、波兰、西班牙、葡萄牙都国家都很痛快地接受了。但英国是新教国家,所以不愿意接受。 直到1752年,英国人才决定采用格里高利历,因为这时儒略历又多算了一天,所以英国人从历史上去掉了11天。 在英国人看来,1752年9月2日的次日是1752年9月14日。

在我看来,还是去掉1582年10月5日至14日更常用一些。所以又在cal2wd1基础上写了cal2wd2。 cal2wd2和cal2wd功能相同,区别仅是前者不依赖cal2mjd函数。cal2wd和cal2wd1也就是对1582年10月5日至1752年9月13日的推算结果不同。 它们对其它日期的推算结果都是相同的,例如它们推算的公元1年1月1日都是星期六:

>> cal2wd([1752 9 14]) ans =      4 >> cal2wd1([1752 9 14]) ans =      4 >> cal2wd([1 1 1]) ans =      6 >> cal2wd1([1 1 1]) ans =      6 

5 结束语

本文提到的源代码可以从这里下载。 其中最复杂的cal2jd和jd2cal是根据www.moshier.net上的代码修改得到。 其实我起初只是想写两个转换gps时间的函数。好奇心让我在半夜查阅相关资料,并用本文记录了这些函数的一些背景。