隐马尔可夫模型的学习问题：给定一个输出序列O=O₁O₂...O_T,如何调节模型μ=(A,B,π）的参数，使得P(O|M)最大。

      最大似然估计是一种解决方法，如果产生的状态序列为Q=q₁q₂...q_T,根据最大似然估计，可以通过以下公式推算：

        π_i‘ = δ（q₁,s_i)

        a_ij‘ =  Q中从状态q_i转移到q_j的次数/Q中从状态q_i转移到另一状态（包括q_j)的次数

        b_j(k)‘ = Q中从状态q_j发出符号V_k的次数/ Q中到达状态q_j的次数

      δ（x,y)为克罗奈克函数，当x=y时，δ（x,y)=1；否则，δ（x,y)=0

      但是注意，在实际中，状态Q=q₁q₂...q_T是观察不到的（隐变量），因此上述的这种求法是有问题的。幸好希望最大化，可以用于含有隐变量的统计模型的参数最大似然估计。基本思想是初始时，随机的给模型参数赋值，但是要遵循模型对参数的限制，例如，从一个状态发出的所有状态转移概率之和为1，得到模型μ₀。然后根据μ₀中的具体值，带入下式，可以得到u₁.依次往下迭代，直到收敛于最大似然估计值。这种迭代爬山算法可以局部使P(O|μ）最大。称为Baum-Welch算法或前向后向算法。

      给定HMM的参数μ和观察序列O=O₁O₂...O_T,在时间t位于状态s_i,在时间t+1位于状态s_j的概率为ξ_t(i,j)=P(q_t=s_i,q_t+1=s_j|O,μ），公式推导如下：

               ................(1)

       给定HMM μ 和序列O=O₁O₂...O_T，在时间t位于状态si的概率为：.........(2)

       这样求μ的参数估计重新改写：

        π_i‘ = r₁(i) ...........(3)

        a_ij‘ =  Q中从状态q_i转移到q_j的次数/Q中从状态q_i转移到另一状态（包括q_j)的次数

             = ..........(4)

        b_j(k)‘ = Q中从状态q_j发出符号V_k的次数/ Q中到达状态q_j的次数

                 = ..............(5)

前向后项算法：

     step1 初始化： 随机地给定参数 π_i, a_ij, b_j(k),使其满足条件：

                       由此得到μ₀，令i=0

      step2 EM计算：

                   E步骤：根据（1）（2）式计算期望ξ_t(i,j) 和 r_t(i)

                   M步骤：根据期望ξ_t(i,j) 和 r_t(i),带入（3）（4）（5）重新得到π_i, a_ij, b_j(k)，得到μ_i+1

       step3 循环计算： i = i+1, 直到π_i, a_ij, b_j(k)收敛

隐马尔可夫模型（七）——隐马尔可夫模型的学习问题(前向后向算法）（转载）