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二分图的扩展

2024-07-17 21:42:45   222人阅读

下面给出关于二分图最大匹配的两个定理：


1:最大匹配数 + 最大独立集 = n + m
2:二分图的最小覆盖数 = 最大匹配数
3:最小路径覆盖 = 最大独立集

最大独立集是指求一个二分图中最大的一个点集,该点集内的点互不相连。
最小顶点覆盖是指 在二分图中,用最少的点,让所有的边至少和一个点有关联。
最小路径覆盖是指一个不含圈的有向图 G 中,G 的一个路径覆盖是一个其结点不相交的路径集合 P,图中的每一个结点仅包含于 P 中的某一条路径。路径可以从任意结点开始和结束,且长度也为任意值,包括 0

 

附写一份自己的二分图的dfs模板算法：（+样题）

 

                                                                             HDU 题目  过山车

RPG girls今天和大家一起去游乐场玩，终于可以坐上梦寐以求的过山车了。可是，过山车的每一排只有两个座位，而且还有条不成文的规矩，
就是每个女生必须找 个个男生做partner和她同坐。但是，每个女孩都有各自的想法，举个例子把，Rabbit只愿意和XHD或PQK做partner，
Grass只愿意 和linle或LL做partner，PrincessSnow愿意和水域浪子或伪酷儿做partner。考虑到经费问题，boss刘决定
只让找到 partner的人去坐过山车，其他的人，嘿嘿，就站在下面看着吧。聪明的Acmer，你可以帮忙算算最多有多少对组合可以坐上过山车吗？
 

Input

输入数据的第一行是三个整数K , M , N，分别表示可能的组合数目，女生的人数，男生的人数。0<K<=1000
1<=N 和M<=500.接下来的K行，每行有两个数，分别表示女生Ai愿意和男生Bj做partner。最后一个0结束输入。
 

Output

对于每组数据，输出一个整数，表示可以坐上过山车的最多组合数。
 

Sample Input

6 3 3
1 1
1 2
1 3
2 1
2 3
3 1
0
 

Sample Output

3
 
代码：
#include <stdio.h>#include <string.h>#define N 510int m, n, k ;int map[N][N];int vt[N];int link[N];int dfs(int dd) {    int i;    for(i=0; i<m; i++)    {        if(map[dd][i]==1 && vt[i]==0 )        {            vt[i]=1;            if(link[i]==-1 ||dfs(link[i]) )            {                link[i]=dd;                return 1;            }        }    }    return 0;}int main(){    int i;    int cnt;    int ff, u, v;    while( scanf("%d", &n) && n!=0 )    {        scanf("%d %d", &m, &k );        memset(map, 0, sizeof(map));        memset(link, -1, sizeof(link));        for(i=0; i<k; i++)        {            scanf("%d %d %d", &ff, &u, &v );			if(u>0 && v>0)            map[u][v] = 1;        }        cnt=0;        for(i=0; i<n; i++)        {            memset(vt, 0, sizeof(vt));            cnt+=dfs(i);        }        printf("%d\n", cnt );    }    return 0;}

 


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