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二分图入门
判断一个图是不是二分图
用染色法,二分图是这样一个图: 有两顶点集且图中每条边的的两个顶点分别位于两个顶点集中,每个顶点集中没有边相连接!
判断二分图的常见方法:开始对任意一未染色的顶点染色,之后判断其相邻的顶点中,若未染色则将其染上和相邻顶点不同的颜色, 若已经染色且颜色和相邻顶点的颜色相同则说明不是二分图,若颜色不同则继续判断,
每次用bfs/dfs遍历都可。
二分图最大匹配匈牙利算法:
算法的思路是不停的找增广轨,并增加匹配的个数,增广轨顾名思义是指一条可以使匹配数变多的路径,在匹配问题中,增广轨的表现形式是一条"交错轨",也就是说这条由图的边组成的路径,它的第一条边是目前还没有参与匹配的,第二条边参与了匹配,第三条边没有..最后一条边没有参与匹配,并且始点和终点还没有被选择过.这样交错进行,显然他有奇数条边.那么对于这样一条路径,我们可以将第一条边改为已匹配,第二条边改为未匹配...以此类推.也就是将所有的边进行"取反",容易发现这样修改以后,匹配仍然是合法的,但是匹配数增加了一对.另外,单独的一条连接两个未匹配点的边显然也是交错轨.可以证明,当不能再找到增广轨时,就得到了一个最大匹配.这也就是匈牙利算法的思路。
//匈牙利算法复杂度o(nm) #include <iostream> using namespace std; const int MAXN = 1001 ,MAXM = 1001 ; int n1,n2,m,ans; //n1,n2分别为二分图两边节点的个数,两边的节点分别用1..n1,1..n2编号,m为边数 bool g[MAXN][MAXM]; //图G邻接矩阵g[x][y] bool y[MAXM]; //Y集合中点i访问标记 int link[MAXM]; //link[y]表示当前与y节点相邻的x节点 void init() { int x,y; memset(g,0 ,sizeof (g)); memset(link,-1 ,sizeof (link)); ans = 0 ; scanf("%d%d%d" ,&n1,&n2,&m); for (int i = 1 ;i <= m;i++) { scanf("%d%d" ,&x,&y); g[x][y] = true ; } } bool find(int x) //是否存在X集合中节点x开始的增广路 { for (int i = 1 ;i <= n2;i++) if (g[x][i] && !y[i]) //如果节点i与x相邻并且未访问过 { y[i] = true ; if (link[i] == -1 || find(link[i])) //如果找到一个未盖点i中或从与i相邻的节点出发有增广路 { link[i] = x; return true ; } } return false ; } int main() { init(); /*for (int j = 1;j <= n2;j++) for (int i = 1;i <= n1;i++) if (g[i][j] && !link[j]) link[j] = i;//贪心初始解优化*/ for (int i = 1 ;i <= n1;i++) { memset(y,0 ,sizeof (y)); if (find(i)) ans++; } printf("%d/n" ,ans); return 0 ; }<span> //bfs判断是否为二分图</span>//0为白色,1为黑色 bool bfs(int s, int n) { queue<int> p; p.push(s); col[s] = 1; while(!p.empty()) { int from = p.front(); p.pop(); for(int i = 1; i <= n; i++) { if(g[from][i] && col[i] == -1) { p.push(i); col[i] = !col[from];//染成不同的颜色 } if(g[from][i] && col[from] == col[i])//颜色有相同,则不是二分图 return false; } } return true; } //HDU2444<pre name="code" class="cpp">#include <iostream> #include <string.h> #include <stdio.h> using namespace std; const int N = 2005; int head[N],link[N]; bool vis[N],col[N]; int cnt,n,m; struct Edge { int to; int next; }; Edge edge[N*N]; void Init() { cnt = 0; memset(head,-1,sizeof(head)); memset(col,0,sizeof(col)); } void add(int u,int v) { edge[cnt].to = v; edge[cnt].next = head[u]; head[u] = cnt++; } bool Color(int u) { for(int i=head[u]; ~i; i=edge[i].next) { int v = edge[i].to; if(!col[v]) { col[v] = !col[u]; if(!Color(v)) return false; } else if(col[v] == col[u]) return false; } return true; } bool dfs(int u) { for(int i=head[u]; ~i; i=edge[i].next) { int v = edge[i].to; if(!vis[v]) { vis[v] = 1; if(link[v] == -1 || dfs(link[v])) { link[v] = u; return true; } } } return false; } int match() { int ans = 0; memset(link,-1,sizeof(link)); for(int i=1; i<=n; i++) { memset(vis,0,sizeof(vis)); if(dfs(i)) ans++; } return ans; } int main() { while(~scanf("%d%d",&n,&m)) { if(n == 1) { puts("No"); continue; } Init(); while(m--) { int u,v; scanf("%d%d",&u,&v); add(u,v); add(v,u); } col[1] = 1; if(!Color(1)) { puts("No"); continue; } printf("%d\n",match()>>1); } return 0; }
真正求二分图的最大匹配的题目很少,往往做一些简单的变化:
变种1:二分图的最小顶点覆盖
最小顶点覆盖要求用最少的点(X或Y中都行),让每条边都至少和其中一个点关联。
knoig定理:二分图的最小顶点覆盖数 = 二分图的最大匹配数(m)。
变种2:DAG图的最小路径覆盖
用尽量少的不相交简单路径覆盖有向无环图(DAG)G的所有顶点,这就是DAG图的最小路径覆盖问题。
结论:DAG图的最小路径覆盖数 = 节点数(n)- 最大匹配数(m)
变种3:二分图的最大独立集
结论:二分图的最大独立集数 = 节点数(n)— 最大匹配数(m)
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